Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους

Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους
Γενικές πληροφορίες
Όνομα στη μητρική γλώσσα	Ferdinand Georg Frobenius (Γερμανικά)
Γέννηση	26  Οκτωβρίου 1849[1][2][3] Σαρλότενμπουργκ[4]
Θάνατος	3  Αυγούστου 1917[1][3][5] Βερολίνο[4]
Χώρα πολιτογράφησης	Βασίλειο της Πρωσίας
Εκπαίδευση και γλώσσες
Ομιλούμενες γλώσσες	Γερμανικά[6]
Σπουδές	Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν (1867–1868)[4] Πανεπιστήμιο Φρίντριχ Βίλχελμ (1868–1870)[4] Joachimsthalsches Gymnasium (1860–1867)[4]
Πληροφορίες ασχολίας
Ιδιότητα	μαθηματικός διδάσκων πανεπιστημίου
Εργοδότης	Πανεπιστήμιο Φρίντριχ Βίλχελμ (1892–1917)[4] Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Ζυρίχης (1875–1892)[4] Joachimsthalsches Gymnasium (1870–1872)[4] d:Q2302685 (1872–1874)[4] Πανεπιστήμιο Φρίντριχ Βίλχελμ (1874–1875)[4]
Αξιοσημείωτο έργο	Frobenius method Frobenius matrix Frobenius inner product Perron–Frobenius theorem Frobenius endomorphism Frobenius algebra Rouché–Capelli theorem Frobenius theorem Frobenius theorem Frobenius normal form Frobenius–Schur indicator Frobenius group Frobenius pseudoprime Frobenius-König theorem Frobenius inequality Frobenius manifold Θεωρία αναπαραστάσεων
Σχετικά πολυμέσα
δεδομένα

Ο Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους (γερμ. Ferdinand Georg Frobenius‎‎, 26 Οκτωβρίου 1849 – 3 Αυγούστου 1917) ήταν Γερμανός μαθηματικός, γνωστός για τις συνεισφορές του στη θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων, στις διαφορικές εξισώσεις, τη Θεωρία αριθμών και τη Θεωρία ομάδων. Ειδικώς στις ελλειπτικές συναρτήσεις, ανέπτυξε τις περίφημες ταυτότητες που αποκαλούνται σχέσεις Frobenius-Stickelberger και διέπουν τη συμπεριφορά τους. Επίσης ανέπτυξε τη θεωρία των διτετραγωνικών μορφών και υπήρξε ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε την έννοια των ρητών προσεγγίσεων συναρτήσεων, και ο πρώτος που έδωσε μια πλήρη απόδειξη του θεωρήματος Cayley-Hamilton. Με το όνομά του είναι γνωστά και ορισμένα αντικείμενα της διαφορικής γεωμετρίας που αναδείχθηκαν στη σύγχρονη μαθηματική φυσική, οι διαφορίσιμες «πολλαπλότητες Frobenius».

Ο Φέρντιναντ Γκέοργκ Φρομπένιους γεννήθηκε σε ένα προάστιο του Βερολίνου, το Σαρλότενμπουργκ^[7] και γονείς του ήταν ο Προτεστάντης εφημέριος Κρίστιαν Φέρντιναντ Φρομπένιους και η Κριστιάνε Ελίζαμπετ Φρήντριχ. Ο Φέρντιναντ Γκέοργκ έγινε δεκτός στο πρότυπο Γυμνάσιο Γιόακιμσταλ σε ηλικία 11 ετών.^[8]

Το 1867 άρχισε τις πανεπιστημιακές σπουδές του στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Ωστόσο, ένα εξάμηνο αργότερα επέστρεψε στο Βερολίνο, όπου στο εκεί Πανεπιστήμιο επωφελήθηκε από τη διδασκαλία σημαντικών μαθηματικών της εποχής: των Λέοπολντ Κρόνεκερ, Ερνστ Κούμερ και Καρλ Βάιερστρας. Από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου πήρε και το διδακτορικό του, το 1870, υπό την εποπτεία του Βάιερστρας και με θέμα σχετικό με την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Το 1874, αφού δίδαξε στο Γυμνάσιο που είχε τελειώσει ο ίδιος, το Γιόακιμσταλ, διορίσθηκε ως έκτακτος καθηγητής των μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου.^[8] Αλλά ένα μόλις έτος αργότερα εγκαταστάθηκε στη Ζυρίχη, καθώς εκεί του είχε προσφερθεί θέση τακτικού καθηγητή στο Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Ζυρίχης. Εκεί παρέμενε επί 17 χρόνια (1875-1892), εκεί δημιούργησε και ανέθρεψε την οικογένειά του με τη σύζυγό του Αουγκούστα Ζοφία Λέμαν (Augusta Sophia Lehmann, 1852-1903) — αν και ο γάμος τους έγινε στο Βερολίνο, στις 19 Απριλίου 1876 —- και στη Ζυρίχη ο Φρομπένιους δημιούργησε μεγάλο μέρος του σημαντικού έργου του σε ποικίλους κλάδους των μαθηματικών.

Ωστόσο στα τέλη Δεκεμβρίου 1891 ο Κρόνεκερ πέθανε, οπότε η έδρα του στο Βερολίνο έμεινε κενή. Τότε ο Βάιερστρας, έχοντας την πεποίθηση ότι ο Φρομπένιους ήταν ο κατάλληλος επιστήμονας που θα διατηρούσε το ίδρυμα στην εμπροσθοφυλακή των μαθηματικών, χρησιμοποίησε τη σημαντική επιρροή του ώστε να τον διορίσει στην έδρα. Ο Φρομπένιους επέστρεψε έτσι ως τακτικός καθηγητής στην πόλη το 1893, όπου εκλέχθηκε και ως μέλος της Πρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Εκεί τον γνώρισε το 1900 ως προπτυχιακός φοιτητής ο μεγάλος Έλληνας μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή, η γνώμη του οποίου για τον Φρομπένιους ως διδάσκοντα είναι χαρακτηριστική:

«... [Παρακολουθούσα] τας παραδόσεις του μετά μεγάλου ενθουσιασμού. Αι παραδόσεις αύται ήσαν ασφαλώς μεταξύ των ωραιοτέρων αι οποίαι εδίδοντο την εποχήν εκείνην εν Γερμανία. Μοναδικόν των ελάττωμα ήτο η άψογος τελειότης των [!], δεδομένου ότι η μεστότης των δεν άφηνε να φανή ουδέ κάν υποψία ανεπιλύτων ζητημάτων.»^[9]

Με τη σειρά του το 1918 ο Καραθεοδωρή (ήδη καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν) κλήθηκε να αναλάβει την έδρα του αποθανόντος σε ηλικία 67 ετών Φρομπένιους στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου...

Η Θεωρία ομάδων απετέλεσε ένα από τα κυριότερα ενδιαφέροντα του Φρομπένιους στο δεύτερο μισό της σταδιοδρομίας του. Μία από τις πρώτες συνεισφορές του ήταν η απόδειξη των θεωρημάτων Sylow. Είχαν προηγηθεί αποδείξεις για ομάδες μεταθέσων. Η απόδειξη του Φρομπένιους για το 1ο Θεώρημα Sylow (επί της υπάρξεως των ομάδων Sylow) είναι από εκείνες που χρησιμοποιούνται συχνότερα σήμερα. Επιπλέον ο Φρομπένιους:

• Απέδειξε το εξής θεμελιώδες θεώρημα: Εάν ένας θετικός ακέραιος αριθμός n διαιρεί την τάξη |G| μιας πεπερασμένης ομάδας G, τότε το πλήθος των λύσεων της εξισώσεως xⁿ = 1 στην G ισούται με k n για κάποιον θετικό ακέραιο αριθμό integer k .

• Διετύπωσε την εξής εικασία: Αν στο προηγούμενο θεώρημα, k = 1 , τότε οι λύσεις της εξισώσεως xⁿ = 1 στην G αποτελούν μία υποομάδα.

Η εικασία αποδείχθηκε σωστή αρχικώς για επιλύσιμες ομάδες.^[10] Μόλις το έτος 1991, μετά την ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων αποδείχθηκε η ορθότητα στη γενική της περίπτωση.