Υπερβατική επέκταση

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στα μαθηματικά, μια υπερβατική επέκταση^[1][2] ${\displaystyle L/K}$ είναι μια επέκταση σώματος τέτοια ώστε να υπάρχει ένα στοιχείο στο σώμα ${\displaystyle L}$ που είναι υπερβατικό πάνω στο σώμα ${\displaystyle K}$, δηλαδή ένα στοιχείο που δεν είναι ρίζα οποιουδήποτε μονοσήμαντου πολυωνύμου με συντελεστές στο ${\displaystyle K}$. Με άλλα λόγια, μια υπερβατική επέκταση είναι μια επέκταση σώματος που δεν είναι αλγεβρική. Παραδείγματος χάριν, το ${\displaystyle \mathbb {C} }$ και το ${\displaystyle \mathbb {R} }$ είναι και τα δύο υπερβατικές επεκτάσεις του ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Μια υπερβατική βάση μιας επέκτασης σώματος ${\displaystyle L/K}$ (ή μια υπερβατική βάση του ${\displaystyle L}$ πάνω από το ${\displaystyle K}$) είναι ένα μέγιστο αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο του ${\displaystyle L}$ πάνω από το ${\displaystyle K.}$ Οι υπερβατικές βάσεις μοιράζονται πολλές ιδιότητες με τις βάσεις των διανυσματικών χώρων. Συγκεκριμένα, όλες οι βάσεις υπερβατικότητας μιας επέκτασης σώματος έχουν την ίδια πληθικότητα, που ονομάζεται βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης. Έτσι, μια επέκταση σώματος είναι μια υπερβατική επέκταση αν και μόνο αν ο βαθμός υπερβατικότητάς της είναι διάφορος του μηδενός.

Οι υπερβατικές επεκτάσεις χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία. Επί παραδείγματι, η διάσταση μιας αλγεβρικής ποικιλίας είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του συναρτησιακού της σώματος. Επίσης, τα ολικά σώματα συναρτήσεων είναι υπερβατικές επεκτάσεις πρώτου βαθμού ενός πεπερασμένου σώματος και παίζουν στη θεωρία αριθμών σε θετική χαρακτηριστική ένα ρόλο που μοιάζει πολύ με το ρόλο των αλγεβρικών σωμάτων αριθμών σε χαρακτηριστική μηδέν.

Το λήμμα του Ζορν δείχνει ότι υπάρχει ένα μέγιστο γραμμικά ανεξάρτητο υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου (δηλ. μια βάση). Ένα παρόμοιο επιχείρημα με το λήμμα του Ζορν δείχνει ότι, δεδομένης μιας επέκτασης σώματος L / K υπάρχει ένα μέγιστο αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο του L πάνω από το K.^[3] Ονομάζεται τότε υπέρβατική Βάση. Από τη μεγιστοποίηση, ένα αλγεβρικά ανεξάρτητο υποσύνολο S του L πάνω από το K είναι μια βάση υπερβατικότητας αν και μόνο αν το L είναι μια αλγεβρική επέκταση του K(S) του σώματος που προκύπτει από την πρόσθεση των στοιχείων του S στο K.

Το λήμμα ανταλλαγής (μια εκδοχή για αλγεβρικά ανεξάρτητα σύνολα^[4]) συνεπάγεται ότι αν S και S' είναι βάσεις υπερβατικότητας, τότε S και S' έχουν την ίδια πληθικότητα. Τότε η κοινή πληθικότητα των βάσεων υπερβατικότητας ονομάζεται βαθμός υπερβατικότητας του L πάνω στο K και συμβολίζεται ως ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L}$ ή ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} (L/K)}$. Υπάρχει λοιπόν μια αναλογία: μια βάση και ένας βαθμός υπερβατικότητας, από τη μια πλευρά, και μια βάση και μια διάσταση από την άλλη. Αυτή η αναλογία μπορεί να γίνει πιο επίσημη, παρατηρώντας ότι η γραμμική ανεξαρτησία στους διανυσματικούς χώρους και η αλγεβρική ανεξαρτησία στις επεκτάσεις σωμάτων αποτελούν και οι δύο παραδείγματα πεπερασμένων μητροειδών (προγεωμετριών^[5]). Κάθε πεπερασμένο μητροειδές έχει μια βάση, και όλες οι βάσεις έχουν την ίδια πληθικότητα.^[6]

Εάν το G είναι ένα παράγον σύνολο του L (δηλαδή, L = K(G)), τότε μια βάση υπερβατικότητας για το L μπορεί να θεωρηθεί ως υποσύνολο του G. Έτσι, ${\displaystyle \operatorname {tr.deg.} _{K}L\leq }$ η ελάχιστη πληθικότητα των παραγόντων συνόλων του L πάνω στο K. Ειδικότερα, μια πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση σώματος δέχεται μια πεπερασμένη βάση υπερβατικότητας.

Αν δεν ορίζεται σώμα K ο βαθμός υπερβατικότητας ενός σώματος L είναι ο βαθμός του σε σχέση με κάποιο σταθερό σώμα βάσης- παραδείγματος χάριν, το πρώτο σώμα της ίδιας χαρακτηριστικής, ή το K , αν το L είναι ένα αλγεβρικό σώμα συναρτήσεων πάνω στο K.

Η επέκταση σώματος L / K είναι καθαρά υπερβατική αν υπάρχει ένα υποσύνολο S του L που είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο K και τέτοιο ώστε L = K(S).

Μια διαχωριστική βάση υπερβατικότητας του L / K είναι μια βάση υπερβατικότητας S τέτοια ώστε το L να είναι μια διαχωρίσιμη αλγεβρική επέκταση πάνω στο K(S).. Μια επέκταση σώματος L / K λέγεται ότι είναι διαχωρίσιμα παραγόμενη αν δέχεται μια διαχωριστική βάση υπερβατικότητας.^[7] Αν μια επέκταση σώματος παράγεται πεπερασμένα και είναι επίσης διαχωρίσιμα παραγόμενη, τότε κάθε σύνολο παραγόντων της επέκτασης σώματος περιέχει μια διαχωρίσιμη βάση υπερβατικότητας.^[8] Πάνω σε ένα τέλειο σώμα, κάθε πεπερασμένα παραγόμενη επέκταση σώματος είναι διαχωρίσιμα παραγόμενη, δηλαδή, δέχεται μια πεπερασμένη διαχωρίζουσα βάση υπερβατικότητας..^[9]

• Μια επέκταση είναι αλγεβρική αν και μόνο αν ο βαθμός υπερβατικότητάς της είναι 0- το κενό σύνολο χρησιμεύει ως βάση υπερβατικότητας εδώ.
• Το σώμα των ρητών συναρτήσεων σε n μεταβλητές K(x₁,...,x_n) (δηλαδή το σώμα των κλασμάτων του πολυωνυμικού δακτυλίου K[x₁,...,x_n]) είναι μια καθαρά υπερβατική επέκταση με βαθμό υπερβατικότητας n πάνω από το K; μπορούμε λόγου χάριν να πάρουμε {x₁,...,x_n}ως βάση υπερβατικότητας.
• Γενικότερα, ο βαθμός υπερβατικότητας του συναρτησιακού σώματος L of μιας n-διάστατης αλγεβρικής ποικιλίας πάνω σε ένα βασικό σώμα K είναι n.
• Q(√2, e) έχει βαθμό υπερβατικότητας 1 άνω από το Q επειδή το √2 είναι αλγεβρικό ενώ το e είναι υπερβατικό.
• Ο βαθμός υπερβατικότητας του C ή του R επί του Q είναι η πληθικότητα του συνεχούς. (Εφόσον το Q είναι μετρήσιμο, το σώμα Q(S) θα έχει την ίδια πληθικότητα με το S για κάθε άπειρο σύνολο S, και κάθε αλγεβρική επέκταση του Q(S) θα έχει πάλι την ίδια πληθικότητα)
• Ο βαθμός υπερβατικότητας του Q(e, π) πάνω από το Q είναι είτε 1 είτε 2; Η ακριβής απάντηση είναι άγνωστη επειδή δεν είναι γνωστό αν τα r e και π είναι αλγεβρικά ανεξάρτητα (βλ. την εικασία του Σάνουελ)..
• Αν το S είναι μια συμπαγής επιφάνεια Ρίμαν, το σώμα C(S) των μερομορφικών συναρτήσεων στο S έχει βαθμό υπερβατικότητας 1 πάνω στο C.

Αν τα M / L και L / K είναι επεκτάσεις σωμάτων, τότε

trdeg(M / K) = trdeg(M / L) + trdeg(L / K)

Αυτό αποδεικνύεται δείχνοντας ότι μια βάση υπερβατικότητας του M / K μπορεί να προκύψει παίρνοντας την ένωση μιας βάσης υπερβατικότητας του M / L και μιας βάσης του L / K.

Αν το σύνολο S είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο K, τότε το σώμα K(S) είναι ισόμορφο με το σώμα των ρητών συναρτήσεων πάνω στο K σε ένα σύνολο μεταβλητών της ίδιας πληθικότητας με το S. Κάθε τέτοια ρητή συνάρτηση είναι κλάσμα δύο πολυωνύμων σε πεπερασμένα πολλά από αυτά τα μεταβλητά, με συντελεστές στο K.

Δύο αλγεβρικά κλειστά σώματα είναι ισόμορφα αν και μόνο αν έχουν την ίδια χαρακτηριστική και τον ίδιο βαθμό υπερβατικότητας πάνω στο πρώτο τους σώμα.^[10]

Έστω ${\displaystyle A\subseteq B}$ ακέραιες περιοχές. Αν ${\displaystyle Q(A)}$ και ${\displaystyle Q(B)}$ συμβολίζουν τα σώματα κλασμάτων των A και B, τότε ο βαθμός υπερβατικότητας του B πάνω από το A ορίζεται ως ο βαθμός υπερβατικότητας της επέκτασης του σώματος ${\displaystyle Q(B)/Q(A).}$

Το λήμμα κανονικοποίησης της Nέτερ συνεπάγεται ότι αν το R είναι μια ακέραια περιοχή που είναι μια πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα πάνω σε ένα σώμα k, τότε η διάσταση Κρουλ του R είναι ο βαθμός υπερβατικότητας του R πάνω στο k.

Αυτό έχει την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία: αν η X είναι μια αφινική αλγεβρική ποικιλία πάνω από ένα σώμα k, η διάσταση Κρουλ του δακτυλίου συντεταγμένων της ισούται με τον βαθμό υπερβατικότητας του σώματος συναρτήσεων της, και αυτό ορίζει τη διάσταση της X. Προκύπτει ότι, αν η X δεν είναι μια αφινική ποικιλία, η διάσταση της (που ορίζεται ως ο βαθμός υπερβατικότητας του σώματος συναρτήσεων της) μπορεί επίσης να οριστεί τοπικά ως η διάσταση Κρουλ του δακτυλίου συντεταγμένων του περιορισμού της ποικιλίας σε ένα ανοικτό αφινικό υποσύνολο.

Έστω ${\displaystyle K/k}$ μια πεπερασμένης παραγωγής επέκταση σώματος. Τότε ^[11]

${\displaystyle \dim _{k}\Omega _{K/k}\geq \operatorname {trdeg} (k/K).}$

όπου ${\displaystyle \Omega _{K/k}}$ συμβολίζει την ενότητα των διαφορικών Κέιλερ. Επίσης, στα παραπάνω, η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν το K είναι διαχωρίσιμα παραγόμενο πάνω στο K (δηλαδή αν δέχεται διαχωριστική βάση υπερβατικότητας).

Οι βάσεις υπέρβασης είναι χρήσιμες για την απόδειξη διαφόρων δηλώσεων ύπαρξης για ομομορφισμούς σωμάτων. Εδώ είναι ένα παράδειγμα: Δεδομένου ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος L, ενός υποσώματος K και ενός αυτομορφισμού σώματος f του K, υπάρχει ένας αυτομορφισμός σώματος του L που επεκτείνει τον f (δηλαδή του οποίου ο περιορισμός στο K είναι ο f). Για την απόδειξη, ξεκινάμε με μια βάση υπερβατικότητας S του L / K. Τα στοιχεία του K(S) είναι απλά πηλίκα πολυωνύμων σε στοιχεία του S με συντελεστές στο K επομένως ο αυτομορφισμός f μπορεί να επεκταθεί σε έναν του K(S) στέλνοντας κάθε στοιχείο του S στον εαυτό του. Το σώμα L είναι η αλγεβρική κλειστότητα του K(S) και οι αλγεβρικές κλειστότητες είναι μοναδικές μέχρι ισομορφισμού- αυτό σημαίνει ότι ο αυτομορφισμός μπορεί να επεκταθεί περαιτέρω από το K(S) to L.

Ως άλλη εφαρμογή, δείχνουμε ότι υπάρχουν (πολλά) κατάλληλα υποσώματα του μιγαδικού αριθμητικού σώματος C που είναι (ως σώματα) ισόμορφα με το C . Για την απόδειξη, ας πάρουμε μια βάση υπερβατικότητας S του C / Q. Το S είναι ένα άπειρο (ακόμη και μη μετρήσιμο) σύνολο, οπότε υπάρχουν ( πολλές) απεικονίσεις f: S → S οι οποίες είναι ερριπτικές αλλά όχι επιρριπτικές. Κάθε τέτοια απεικόνιση μπορεί να επεκταθεί σε έναν ομομορφισμό σώματος Q(S) → Q(S) ο οποίος δεν είναι επιρριπτικός. Ένας τέτοιος ομομορφισμός σώματος μπορεί με τη σειρά του να επεκταθεί στην αλγεβρική κλειστότητα C,, και οι προκύπτοντες ομομορφισμοί σώματος C → C δεν είναι επιρριπτικοί.

Ο βαθμός υπερβατικότητας μπορεί να δώσει μια διαισθητική κατανόηση του μεγέθους ενός σώματος. Παραδείγματος χάριν, ένα θεώρημα που οφείλεται στον Ζίγκελ δηλώνει ότι αν X είναι μια συμπαγής, συνδεδεμένη, σύνθετη πολλαπλότητα διάστασης n και K(X) δηλώνει το σώμα των (σφαιρικά καθορισμένων) μερομορφικών συναρτήσεων σε αυτό, τότε trdeg_C(K(X)) ≤ n.

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

• Grillet, Pierre Antoine (21 Ιουλίου 2007). Abstract Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-71568-1. 
• Bastida, Julio R. (28 Δεκεμβρίου 1984). Field Extensions and Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30242-5. 
• Weintraub, Steven H. (20 Οκτωβρίου 2008). Galois Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-87575-0. 
• Li, Huishi (10 Αυγούστου 2004). Introduction To Commutative Algebra, An: From The Viewpoint Of Normalization. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-638-3. 
• Stewart, Ian (28 Ιουλίου 2003). Galois Theory, Third Edition. CRC Press. ISBN 978-1-58488-393-7. 
• Spindler, Karlheinz (18 Οκτωβρίου 1993). Abstract Algebra with Applications: Volume 2: Rings and Fields. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9159-9. 
• Roman, Steven (17 Νοεμβρίου 2005). Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-27677-9. 
• Knudsen, Lars (28 Οκτωβρίου 2008). Advances in Cryptology – EUROCRYPT 2002: International Conference on the Theory and Applications of Cryptographic Techniques, Amsterdam, The Netherlands, April 28 - May 2, 2002 Proceedings. Springer. ISBN 978-3-540-46035-0. 
• Ehrlich, Gertrude (13 Μαΐου 2013). Fundamental Concepts of Abstract Algebra. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-29186-4. 
• Gouvêa, Fernando Q. (2012). A Guide to Groups, Rings, and Fields. MAA. ISBN 978-0-88385-355-9. 

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Milne, James, Field Theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf 
• § 6.3. of Shimura, Goro (1971), Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan, 11, Tokyo: Iwanami Shoten,
  Zbl 0221.10029
   
• Manin, Ju. I. (1965). «The Hasse–Witt matrix of an algebraic curve». Transl., Ser. 2, Am. Math. Soc.. American Mathematical Society Translations: Series 2 45: 245–246. doi:10.1090/trans2/045/16. ISBN 978-0-8218-1745-2. ISSN 0065-9290.
  Zbl 0148.28002
  .  (English translation of a Russian original)
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 
• Šafarevič, I. R. (1951), A new proof of the Kronecker-Weber theorem, Trudy Mat. Inst. Steklov., 38, Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR, σελ. 382–387, http://mi.mathnet.ru/eng/tm/v38/p382 

• Parshall, K. H. (1983). «In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen». Archives of International History of Science 33: 274–99. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.