Ταξινομητής υποαντικειμένων

Στα μαθηματικά, ειδικά στην θεωρία κατηγοριών, ένας ταξινομητής υποαντικειμένων^[1]^[2] είναι ένα ειδικό αντικείμενο Ω μιας κατηγορίας, έτσι ώστε, διαισθητικά, τα υποαντικείμενα οποιουδήποτε αντικειμένου X στην κατηγορία να αντιστοιχούν στους μορφισμούς από το X στο Ω. Σε τυπικά παραδείγματα, αυτός ο μορφισμός αναθέτει την τιμή "αληθές" στα στοιχεία του υποαντικειμένου και την τιμή "ψευδές" στα άλλα στοιχεία του X. Επομένως, ένας ταξινομητής υποαντικειμένων είναι επίσης γνωστός ως "αντικείμενο με τιμή αλήθειας" και η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στην κατηγορηματική περιγραφή της λογικής. Ας σημειωθεί, ωστόσο, ότι οι ταξινομητές υποαντικειμένων είναι συχνά πολύ πιο περίπλοκοι από τις απλές δυαδικές λογικές τιμές αλήθειας {true, false}.

Εισαγωγικό παράδειγμα

Ως παράδειγμα, το σύνολο Ω = {0,1} είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων στην κατηγορία των συνόλων και των συναρτήσεων: σε κάθε υποσύνολο A του S που ορίζεται από τη συνάρτηση εγκλεισμού j : A → S μπορούμε να αποδώσουμε τη συνάρτηση χ_A από το S στο Ω που εκτελεί ακριβώς την απεικόνιση των στοιχείων του A στο 1, και των στοιχείων εκτός του A στο 0 (με άλλα λόγια, η χ_A είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση^[3] του A). Αντίστροφα, κάθε συνάρτηση από το S στο Ω προκύπτει με αυτόν τον τρόπο από ένα και μόνο υποσύνολο A^[4].

Για να γίνουμε πιο κατανοητοί, ας θεωρήσουμε ένα υποσύνολο A του S (A ⊆ S), όπου S είναι ένα σύνολο. Η έννοια του υποσυνόλου μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη χαρακτηριστική συνάρτηση^[3] χ_A : S → {0,1}, η οποία ορίζεται ως εξής:

\chi _{A}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x\notin A\\1,&{\mbox{if }}x\in A\end{cases}}

(Εδώ ερμηνεύουμε το 1 ως αληθές και το 0 ως ψευδές.) Ο ρόλος της χαρακτηριστικής συνάρτησης είναι να καθορίσει ποια στοιχεία ανήκουν στο υποσύνολο A. Στην πραγματικότητα, το χ_A είναι αληθές ακριβώς στα στοιχεία του A.

Με αυτόν τον τρόπο, η συλλογή όλων των υποσυνόλων του S και η συλλογή όλων των απεικόνισεων από το S στο Ω = {0,1} είναι ισομορφικές.

Για να κατηγοριοποιήσουμε αυτή την έννοια, ας θυμηθούμε ότι, στην θεωρία κατηγοριών, ένα υποαντικείμενο αντιπροσωπεύεται στην πραγματικότητα από ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα αντικείμενο A και ένα μονοικό βέλος A → S (που ερμηνεύεται ως έγκλειση σε ένα άλλο αντικείμενο S). Κατά συνέπεια, το αληθές αναφέρεται στο στοιχείο 1, το οποίο επιλέγεται από το βέλος: αληθές:: {0} → {0, 1} που αποτελεί την απεικόνιση του 0 στο 1.Το υποσύνολο A του S μπορεί τώρα να οριστεί ως ανάκρουση (pullback) του αληθούς κατά μήκος της χαρακτηριστικής συνάρτησης χ_A, όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:

Ορίζοντας το χ είναι ένας μορφισμός Sub_C(S) → Hom_C(S, Ω). Κατ' ορισμό, το Ω είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων εάν αυτός ο μορφισμός χ είναι ένας ισομορφισμός.

Ορισμός

Για τον γενικό ορισμό, ξεκινάμε με μια κατηγορία C που έχει ένα τελικό αντικείμενο, το οποίο συμβολίζουμε με 1. Το αντικείμενο Ω της C είναι ένας ταξινομητής υποαντικειμένων για την C αν υπάρχει ένας μορφισμός

1 → Ω

με την ακόλουθη ιδιότητα:

Για κάθε μονομορφισμό j: U → X υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός χ_j: X → Ω έτσι ώστε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα

είναι ένα νηµατικό γινόμενο (pullback}—δηλαδή, το U είναι το όριο του διαγράμματος:

Ο μορφισμός χ_j ονομάζεται τότε ο ταξινομικός μορφισμός για το υποαντικείμενο που αντιπροσωπεύεται από το j.

Περισσότερα παραδείγματα

Δεμάτια συνόλων

Η κατηγορία των δεματίων συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο X διαθέτει έναν ταξινομητή υποαντικειμένων που μπορεί να περιγραφεί ως εξής: Για κάθε ανοιχτό σύνολο U του X, το Ω(U) είναι το σύνολο όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του U. Το τελικό αντικείμενο είναι το δεμάτιο 1 που αντιστοιχεί το μονοσύνολο {*} σε κάθε ανοιχτό σύνολο U του X. Ο μορφισμός η:1 → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων η_U : 1(U) → Ω(U) που ορίζεται από η_U(*)=U f για κάθε ανοιχτό σύνολο U του X. Δεδομένου ενός δεματίου F στο X και ενός υποδεματίου (sub-sheaf) j: G → F, ο ταξινομικός μορφισμός χ _j : F → Ω δίνεται από την οικογένεια των απεικόνισεων χ _j,U : F(U) → Ω(U), όπου χ _j,U(x) είναι η ένωση όλων των ανοιχτών συνόλων V του U έτσι ώστε ο περιορισμός του x στο V (με την έννοια των δεμάτιων) να περιέχεται στο j_V(G(V)).^[5]

Σε γενικές γραμμές, μια πρόταση μέσα σε αυτό το τόπο είναι αληθής ή ψευδής, και η αληθινή της αξία από την άποψη ενός ανοιχτού υποσυνόλου U είναι το ανοιχτό υποσύνολο του U όπου η πρόταση είναι αληθής.

Presheaves (προδεμάτια)

Δεδομένης μιας μικρής κατηγορίας $C$ η κατηγορία των προ-δεματίων (presheaves) $\mathrm {Set} ^{C^{op}}$ (δηλαδή η κατηγορία των συναρτητών που αποτελείται από όλους τους ανταναλλοίωτους συναρτητές από το $C$ στο $\mathrm {Set}$ ) έχει έναν ταξινομητή υποαντικειμένων που δίνεται από τον συναρτητή που στέλνει κάθε $c\in C$ στο σύνολο των κόσκινων στο $c$ . Οι ταξινομικοί μορφισμοί κατασκευάζονται με τρόπο αρκετά παρόμοιο με αυτούς στο παραπάνω παράδειγμα των δεμάτιων συνόλων.

Στοιχειώδη τοπολογικά θέματα

Και τα δύο παραπάνω παραδείγματα περιλαμβάνονται στο ακόλουθο γενικό γεγονός: κάθε στοιχειώδης τόπος, ο οποίος ορίζεται ως κατηγορία με πεπερασμένα όρια και αντικείμενα δύναμης, έχει αναγκαστικά έναν ταξινομητή υποαντικειμένων.^[6] Τα δύο παραπάνω παραδείγματα είναι τόποι του Γκρότεντικ, και κάθε τόπος του Γκρότεντικ είναι ένας στοιχειώδης τόπος.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
Wolfram Mathematica Online Integrator
A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

MacLane, Saunders· Moerdijk, Ieke (27 Οκτωβρίου 1994). Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-97710-2.
Gibbons, G. W.· Shellard, E. P. S. (23 Οκτωβρίου 2003). The Future of Theoretical Physics and Cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82081-3.
Awodey, Steve (2006). Category Theory. Ebsco Publishing. ISBN 978-0-19-151382-4.
Wyler, Oswald (3 Ιανουαρίου 1991). Lecture Notes On Topoi And Quasitopoi. World Scientific. ISBN 978-981-4507-02-8.
Brattka, Vasco· Diener, Hannes (4 Σεπτεμβρίου 2014). Logic, Computation, Hierarchies. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-1-61451-940-9.
Heunen, Chris (1 Νοεμβρίου 2009). Categorical Quantum Models and Logics. Amsterdam University Press. ISBN 978-90-8555-024-2.
<ref>Mazzola, Guerino (29 Μαρτίου 2018). The Topos of Music IV: Roots: Appendices. Springer. ISBN 978-3-319-64495-0.
Bell, John L. (1 Ιανουαρίου 2008). Toposes and Local Set Theories: An Introduction. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-46286-8.
Lane, Saunders Mac (17 Απριλίου 2013). Categories for the Working Mathematician. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-4721-8.
Peters, James F.· Skowron, Andrzej (1 Ιανουαρίου 2023). Transactions on Rough Sets XXIII. Springer Nature. ISBN 978-3-662-66544-2.

Παραπομπές

↑ «subobject classifier in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.
↑ Lee, Sarah. «Category Theory and Subobject Classifier». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.
1 2 Weisstein, Eric W. «Characteristic Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Αυγούστου 2025.
↑ «Subobject classifier - Bvio.com». bvio.com. Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.
↑ Fong, Brendan· Spivak, David I. (18 Ιουλίου 2019). An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-58224-7.
↑ Pedicchio & Tholen (2004) p.8

Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician, Second Edition, 1978, p. 64
Emily Riehl: Category Theory in Context Αρχειοθετήθηκε 2019-12-14 στο Wayback Machine., Aurora Modern Math Originals, 2014, p. 82, p. 139 footnote 8.
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects Αρχειοθετήθηκε 2005-11-11 στο Wayback Machine..
Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9.
Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073
Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110
Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862
Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038.
Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4.
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890
Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610
Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring
Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/ A handbook for study and research
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-30
Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2
J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln
Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf.
Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8.
Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001.
Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11.
Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947

Πηγές

Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.
Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
Zbl 1103.12002
DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7.
Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
Zbl 1206.51015
Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho
Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
Zbl 0516.12001
, https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt
Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.

[1] «subobject classifier in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.

[2] Lee, Sarah. «Category Theory and Subobject Classifier». www.numberanalytics.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.

[:0-3] 1 2 Weisstein, Eric W. «Characteristic Function». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 29 Αυγούστου 2025.

[4] «Subobject classifier - Bvio.com». bvio.com. Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2025.

[5] Fong, Brendan· Spivak, David I. (18 Ιουλίου 2019). An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-58224-7.

[6] Pedicchio & Tholen (2004) p.8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]