Σχέσεις διανυσματικής άλγεβρας

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Οι ακόλουθες ταυτότητες είναι σημαντικές στη διανυσματική άλγεβρα^[1]. Ταυτότητες που αφορούν μόνο το μέγεθος ενός διανύσματος ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$ και το εσωτερικό γινόμενο (βαθμωτό γινόμενο) δύο διανυσμάτων A·B ισχύουν για διανύσματα σε οποιαδήποτε διάσταση, ενώ οι ταυτότητες που χρησιμοποιούν το σταυρωτό γινόμενο (διανυσματικό γινόμενο) Α×Β ισχύουν μόνο στις τρεις διαστάσεις, αφού το σταυρωτό γινόμενο^[2] ορίζεται μόνο εκεί^{[nb 1][3]} Οι περισσότερες από αυτές τις σχέσεις μπορούν να χρονολογηθούν στον ιδρυτή του διανυσματικού λογισμού Τζόσια Γουίλαρντ Γκιμπς, αν όχι νωρίτερα^[4] .

Το μέγεθος ενός διανύσματος A μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση του τετραγωνικού γινομένου:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }$

Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, το μέγεθος ενός διανύσματος προσδιορίζεται από τις τρεις συνιστώσες του χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}$

• Η Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς: ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}$
• Η Τριγωνική ανισότητα: ${\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}$
• Η αντίστροφη τριγωνική ανισότητα:: ${\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}$

Το διανυσματικό γινόμενο και το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων ορίζουν τη μεταξύ τους γωνία, ας πούμε θ:^[3][5]

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Για να ικανοποιείται ο κανόνας του δεξιού χεριού, για θετικό θ, το διάνυσμα B είναι αριστερόστροφο από το A, και για αρνητικό θ είναι δεξιόστροφο.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}$

Η Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα παρέχει τότε:

${\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}$

Αν ένα διάνυσμα A = (A_x, A_y, A_z) σχηματίζει γωνίες α, β, γ με ένα ορθογώνιο σύνολο αξόνων x-, y- και z- τότε:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}$

και κατ' αναλογία για τις γωνίες β, γ. Συνεπώς:

${\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}$

με ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}$ μοναδιαία διανύσματα κατά μήκος των κατευθύνσεων των αξόνων.

Το εμβαδόν Σ ενός παραλληλογράμμου με πλευρές A και B που περιέχει τη γωνία θείναι:

${\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}$

το οποίο θα αναγνωριστεί ως το μέγεθος του διανυσματικού σταυρωτού γινομένου των διανυσμάτων A και B που βρίσκονται κατά μήκος των πλευρών του παραλληλογράμμου. Δηλαδή:

${\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}$

(Αν A, B είναι δισδιάστατα διανύσματα, αυτό ισούται με τον προσδιοριστή του πίνακα 2 × 2 με γραμμές A, B.) Το τετράγωνο αυτής της έκφρασης είναι:^[6]

${\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}$

όπουΓ(A, B) είναι η ορίζουσα του Γκραμ των A και B που ορίζεται από:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}$

Με παρόμοιο τρόπο, ο τετραγωνικός όγκος V ενός παραλληλεπιπέδου που εκτείνεται από τα τρία διανύσματα A, B, C δίνεται από την ορίζουσα Γκραμ των τριών διανυσμάτων:^[6]

${\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}$

Εφόσον τα A, B, Cείναι τρισδιάστατα διανύσματα, αυτό ισούται με το τετράγωνο του βαθμωτού τριπλού γινομένου ${\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}$ παρακάτω.

Η διαδικασία αυτή μπορεί να επεκταθεί σε n-διαστάσεις.

• Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης: ${\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }$.
• Αντιμεταθετικότητα του βαθμωτού γινομένου: ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }$.
• Αντί-αντιμεταθετικότητα του σταυρωτού γινομένου: ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-} (\mathbf {B} \times \mathbf {A} )}$.
• Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού με ένα βαθμωτό σε σχέση με την πρόσθεση: ${\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }$.
• Επιμεριστική ιδιότητα του βαθμωτού γινομένου επί της πρόσθεσης: ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }$.
• Επιμεριστική ιδιότητα του διανυσματικού γινομένου επί της πρόσθεσης: ${\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }$.
• βαθμωτό Τριπλό γινόμενο:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}$

• Διανυσματικό τριπλό γινόμενο: ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$.
• Ταυτότητα Ιακόμπι: ${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}$
• Ταυτότητα Λαγκράνζ: ${\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}$.

Οι σχέσεις αυτές είναι χρήσιμες για την εξαγωγή διαφόρων τύπων στη σφαιρική και ευκλείδεια γεωμετρία. Επί παραδείγματι, αν επιλεγούν τέσσερα σημεία στη μοναδιαία σφαίρα, A, B, C, D, και σχεδιαστούν μοναδιαία διανύσματα από το κέντρο της σφαίρας προς τα τέσσερα σημεία, a, b, c, d αντίστοιχα, η ταυτότητα:

${\displaystyle (\mathbf {a\times b} )\mathbf {\cdot } (\mathbf {c\times d} )=(\mathbf {a\cdot c} )(\mathbf {b\cdot d} )-(\mathbf {a\cdot d} )(\mathbf {b\cdot c} )\ ,}$

σε συνδυασμό με τη σχέση για το μέγεθος του διασταυρούμενου γινομένου:

${\displaystyle \|\mathbf {a\times b} \|=ab\sin \theta _{ab}\ ,}$

και το γινόμενο τελείας:

${\displaystyle \mathbf {a\cdot b} =ab\cos \theta _{ab}\ ,}$

όπου a = b = 1 για τη μοναδιαία σφαίρα, οδηγεί στην ταυτότητα μεταξύ των γωνιών που αποδίδονται στον Γκάους:

${\displaystyle \sin \theta _{ab}\sin \theta _{cd}\cos x=\cos \theta _{ac}\cos \theta _{bd}-\cos \theta _{ad}\cos \theta _{bc}\ ,}$

όπου x είναι η γωνία μεταξύ a × b and c × d, ή ισοδύναμα, μεταξύ των επιπέδων που ορίζονται από αυτά τα διανύσματα.^[4]

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

• Gbur, Gregory J. (6 Ιανουαρίου 2011). Mathematical Methods for Optical Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-49269-0. 
• Majid, Shahn (2000). Foundations of Quantum Group Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64868-4. 
• Giuseppe, A. Di (21 Οκτωβρίου 2013). Metrology and Physical Constants. IOS Press. ISBN 978-1-61499-326-1. 
• Winitzki, Sergei (30 Ιουλίου 2009). Linear Algebra Via Exterior Products. Sergei Winitzki. ISBN 978-1-4092-9496-2. 
• Suzuki, Jeff (3 Μαΐου 2021). Linear Algebra: An Inquiry-Based Approach. CRC Press. ISBN 978-1-000-37749-1. 
• Apostol, Tom M. (22 Αυγούστου 2014). Linear Algebra: A First Course with Applications to Differential Equations. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-62618-4. 
• Brand, Louis (22 Ιουνίου 2012). Vector Analysis. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15484-8. 
• Roman, Steven (20 Σεπτεμβρίου 2007). Advanced Linear Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72831-5. 
• Bronson, Richard· Costa, Gabriel B. (8 Οκτωβρίου 2013). Linear Algebra: Algorithms, Applications, and Techniques. Academic Press. ISBN 978-0-12-397811-0. 
• Lin, I.-Hsiung (2008). Geometric Linear Algebra. World Scientific. ISBN 978-981-270-775-8. 

• L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1975). The Classical Theory of Fields. 2 (4th έκδοση). Butterworth–Heineman. ISBN 978-0-7506-2768-9. 
• J. D. Jackson (1998). Classical Electrodynamics (3rd έκδοση). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• White, Joseph F. (1 Αυγούστου 2016). High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Design and Computer Simulation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-24450-9. 
• Slater, John C.· Frank, Nathaniel H. (9 Μαρτίου 2012). Electromagnetism. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15040-6. 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
  doi:10.1080/17513470903332913
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.