Στοιχείο (θεωρία κατηγοριών)

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στην θεωρία κατηγοριών^[1], η έννοια του στοιχείου^[2][3] ή του σημείου γενικεύει την πιο συνηθισμένη έννοια της θεωρίας συνόλων ενός στοιχείου ενός συνόλου σε ένα αντικείμενο οποιασδήποτε κατηγορίας. Αυτή η ιδέα επιτρέπει συχνά την επαναδιατύπωση των ορισμών ή των ιδιοτήτων των μορφισμών (όπως ο μονομορφισμός ή το γινόμενο) που δίνονται από μια καθολική ιδιότητα με πιο οικείους όρους, δηλώνοντας τη σχέση τους με τα στοιχεία. Ορισμένα πολύ γενικά θεωρήματα, όπως το λήμμα του Γιονέντα^[4] και το θεώρημα εμφύτευσης του Μίτσελ^[5], είναι πολύ χρήσιμα για αυτό, καθώς επιτρέπουν να εργαστεί κανείς σε ένα πλαίσιο όπου αυτές οι μεταφορές είναι έγκυρες. Αυτή η προσέγγιση της θεωρίας κατηγοριών – και συγκεκριμένα η χρήση του λήμματος του Γιονέντα^[4] με αυτόν τον τρόπο – οφείλεται στον Γκρότεντικ και συχνά ονομάζεται μέθοδος του συναρτητή των σημείων.

Ας υποθέσουμε ότι η C είναι οποιαδήποτε κατηγορία και τα A, T είναι δύο αντικείμενα της C. Ένα T-valued σημείο του “'A”' είναι απλά ένας μορφισμός ${\displaystyle p\colon T\to A}$.Το σύνολο όλων των T-valued σημείων του A μεταβάλλεται συναρτησιακά με το T, δίνοντας τον "συναρτητη των σημείων" του A, σύμφωνα με το λήμμα του Γιονέντα, αυτό καθορίζει πλήρως το A ως αντικείμενο του C.

Πολλές ιδιότητες των μορφισμών μπορούν να επαναδιατυπωθούν σε όρους σημείων^[3]. Επί παραδείγματι, μια απεικόνιση ${\displaystyle f}$ λέγεται μονομορφισμός αν

Για όλες τις απεικονίσεις ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle h}$, αν ${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ τότε ${\displaystyle g=h}$.

Ας υποθέσουμε ότι ${\displaystyle f\colon B\to C}$ και ${\displaystyle g,h\colon A\to B}$ στο C. Τότε τα g και h είναι A-valued σημεία του B, και επομένως ο μονομορφισμός είναι ισοδύναμος με την πιο γνωστή δήλωση

Η f είναι μονομορφισμός αν είναι ερριπτική συνάρτηση σε σημεία του B.

Χρειάζεται κάποια προσοχή. Η f είναι ένας επιμορφισμός αν ισχύει η διπλή προϋπόθεση:

Για όλες τις απεικονίσεις g, h (κάποιου κατάλληλου τύπου), ${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$ συνεπάγεται ${\displaystyle g=h}$.

Στη θεωρία συνόλων, ο όρος "επιµορφισµός" είναι συνώνυµος της "επίρριψη"^[6], δηλ.

Κάθε σημείο του C είναι η εικόνα, υπό f κάποιου σημείου του B.

Αυτό σαφώς δεν είναι η μεταφορά της πρώτης δήλωσης στη γλώσσα των σημείων, και στην πραγματικότητα οι δηλώσεις αυτές δεν είναι μη ισοδύναμες γενικά. Ωστόσο, σε ορισμένα πλαίσια, όπως στις αβελιανές κατηγορίες, ο μονομορφισμός και ο επιμορφισμός υποστηρίζονται από αρκετά ισχυρές συνθήκες που στην πραγματικότητα επιτρέπουν μια τέτοια επανερμηνεία στα σημεία.

Ομοίως, κατηγορικές κατασκευές όπως το γινόμενο έχουν σημειακά ανάλογα. Ας θυμηθούμε ότι αν τα A, B είναι δύο αντικείμενα της C, το γινόμενό τους A × B είναι ένα αντικείμενο τέτοιο ώστε

Υπάρχουν απεικονίσεις ${\displaystyle p\colon A\times B\to A,}$ ${\displaystyle q\colon A\times B\to B}$, και για κάθε T και απεικονίσεις ${\displaystyle f\colon T\to A,g\colon T\to B}$, υπάρχει μια μοναδική απεικόνιση ${\displaystyle h\colon T\to A\times B}$ τέτοια ώστε ${\displaystyle f=p\circ h}$ και ${\displaystyle g=q\circ h}$.

Σε αυτόν τον ορισμό, τα f και g είναι T-valued σημεία των A και B, αντίστοιχα, ενώ το “'h”' είναι ένα T-valued σημείο του A × B. Ένας εναλλακτικός ορισμός του γινομένου είναι επομένως:

A × B είναι ένα αντικείμενο του C, μαζί με τους χάρτες προβολής ${\displaystyle p\colon A\times B\to A}$ και ${\displaystyle q\colon A\times B\to B}$, έτσι ώστε τα p και q να παρέχουν μια bijection μεταξύ σημείων του A × B και ζεύγη σημείων των A και B.

Αυτός είναι ο πιο γνωστός ορισμός του καρτεσιανού γινομένου δύο συνόλων.

Η ορολογία έχει γεωμετρική προέλευση- στην αλγεβρική γεωμετρία^[7], ο Γκρότεντικ εισήγαγε την έννοια του σχήματος προκειμένου να ενοποιήσει το θέμα με την αριθμητική γεωμετρία, η οποία ασχολείται με την ίδια ιδέα της μελέτης λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων (δηλαδή αλγεβρικές ποικιλίες) αλλά όπου οι λύσεις δεν είναι μιγαδικοί αριθμοί αλλά ρητοί αριθμοί, ακέραιοι αριθμοί ή ακόμη και στοιχεία κάποιου πεπερασμένου σώματος. Ένα σχήμα είναι τότε ακριβώς αυτό: ένα σχήμα για τη συγκέντρωση όλων των εκδηλώσεων μιας ποικιλίας που ορίζεται από τις ίδιες εξισώσεις αλλά με λύσεις που λαμβάνονται σε διαφορετικά σύνολα αριθμών. Ένα σχήμα δίνει μια σύνθετη ποικιλία, τα σημεία της οποίας είναι τα ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {C} )}$-τιμημένα σημεία της, καθώς και το σύνολο των σημείων ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {Q} )}$-τιμημένων (ρητές λύσεις των εξισώσεων), και ακόμη ${\displaystyle (\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{p})}$-valued (λύσεις modulo p).

Ένα χαρακτηριστικό της γλώσσας των σημείων είναι εμφανές από αυτό το παράδειγμα: δεν αρκεί, γενικά, να εξετάζουμε μόνο σημεία με τιμές σε ένα μόνο αντικείμενο. Επί παραδείγματι, η εξίσωση ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ (η οποία ορίζει ένα σχήμα) δεν έχει πραγματικές λύσεις, αλλά έχει μιγαδικές λύσεις, δηλαδή ${\displaystyle \pm i}$. Έχει επίσης μία λύση modulo 2 και δύο λύσεις modulo 5, 13, 29 κ.λπ. (όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι 1 modulo 4). Η απλή λήψη των πραγματικών λύσεων δεν θα έδινε καμία απολύτως πληροφορία.

Η κατάσταση είναι ανάλογη με την περίπτωση όπου C είναι η κατηγορία Set, των συνόλων πραγματικών στοιχείων^[8]. Στην περίπτωση αυτή, έχουμε το « μονοσημειακό» σύνολο {1}, και τα στοιχεία οποιουδήποτε συνόλου S είναι τα ίδια με τα {1}-valued σημεία του S. Επιπλέον, όμως, υπάρχουν και τα {1,2}-valued σημεία, τα οποία είναι ζεύγη στοιχείων του S, ή στοιχεία του S × S. Στο πλαίσιο των συνόλων, αυτά τα ανώτερα σημεία είναι ξένα: το “'S”' καθορίζεται πλήρως από τα {1}-σημεία του. Ωστόσο, όπως φάνηκε παραπάνω, αυτό είναι ειδικό (σε αυτή την περίπτωση, είναι επειδή όλα τα σύνολα είναι επαναληπτικά συνγινόμενά του {1}).

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Yanofsky, Noson S. (3 Μαρτίου 2022). Theoretical Computer Science for the Working Category Theorist. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-89067-0. 
• Cheng, Eugenia (5 Ιουνίου 2025). Unequal: The Maths of When Things Do and Don’t Add Up. Profile. ISBN 978-1-80522-308-5. 
• Hofmann, Karl H.· Morris, Sidney A. (24 Οκτωβρίου 2023). The Structure of Compact Groups: A Primer for the Student – A Handbook for the Expert. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-117260-6. 
• Landry, Elaine M. (2017). Categories for the Working Philosopher. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-874899-1. 
• Scerri, Eric R.· Ghibaudi, Elena (2020). What is a Chemical Element?: A Collection of Essays by Chemists, Philosophers, Historians, and Educators. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-093378-4. 
• Gold, Bonnie· Simons, Roger A. (2008). Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy. MAA. ISBN 978-0-88385-567-6. 
• Northcott, Douglas Geoffrey (11 Οκτωβρίου 1973). A First Course of Homological Algebra. CUP Archive. ISBN 978-0-521-20196-4. 
• Leinster, Tom (22 Ιουλίου 2004). Higher Operads, Higher Categories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53215-0. 
• Denecke, Klaus· Wismath, Shelly L. (2009). Universal Algebra and Coalgebra. World Scientific. ISBN 978-981-283-745-5. 
• Routley, Richard· Routley, Val (10 Νοεμβρίου 2020). Noneist Explorations II: The Sylvan Jungle - Volume 3. Springer Nature. ISBN 978-3-030-58864-9. 

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9. 
• Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073 
• Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110 
• Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862 
• Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. Volume 1: Basic Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193. 
• Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038. 
• Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-19 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.