Σκελετός (θεωρία κατηγοριών)

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στα μαθηματικά, ο σκελετός^[1][2] μιας κατηγορίας είναι μια υποκατηγορία που κατά προσέγγιση, δεν περιέχει περιττούς ισομορφισμούς. Υπό μια ορισμένη έννοια, ο σκελετός μιας κατηγορίας είναι η "μικρότερη" Ισοδυναμία κατηγοριών, η οποία συλλαμβάνει όλες τις "ιδιότητες κατηγοριών" της αρχικής. Στην πραγματικότητα, δύο κατηγορίες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ισομορφικούς σκελετούς. Μια κατηγορία αποκαλείται σκελετική αν τα ισομορφικά αντικείμενα είναι αναγκαστικά πανομοιότυπα.

Ένας σκελετός μιας κατηγορίας C είναι μια ισοδύναμη κατηγορία D στην οποία τα ισομορφικά αντικείμενα είναι ίσα. Τυπικά, ένας σκελετός θεωρείται μια υποκατηγορία D της C τέτοια ώστε:^[3]

• Το D είναι υποκατηγορία του C : κάθε αντικείμενο του D είναι αντικείμενο του C

${\displaystyle \mathrm {Ob} (D)\subseteq \mathrm {Ob} (C),}$

για κάθε ζεύγος αντικειμένων d₁ και d₂ του D, οι μορφισμοί του D είναι μορφισμοί στο C, δηλαδή

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})\subseteq \mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2})}$

και οι ταυτότητες και οι συνθέσεις D είναι περιορισμοί εκείνων στο C.

• O εγκλεισμός του D στο C είναι πλήρης, πράγμα που σημαίνει ότι για κάθε ζεύγος αντικειμένων d₁ και d₂ του D, η συμπερίληψη των παραπάνω υποσυνόλων ενισχύεται σε ισότητα:

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D}(d_{1},d_{2})=\mathrm {Hom} _{C}(d_{1},d_{2}).}$

• Ο εγκλεισμός του D στο C είναι ουσιαστικά επιρριπτικος: κάθε αντικείμενο του C είναι ισομορφικό με ένα αντικείμενο του D .
• Το D είναι σκελετικό: δεν υπάρχουν διακριτά ισομορφικά αντικείμενα στο D.

Είναι θεμελιώδες γεγονός ότι κάθε μικρή κατηγορία έχει σκελετό- γενικότερα, κάθε προσβάσιμη κατηγορία έχει σκελετό. (Αυτό είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της επιλογής.) Επίσης, αν και μια κατηγορία μπορεί να έχει πολλούς διαφορετικούς σκελετούς, δύο σκελετοί είναι ισομορφικοί ως κατηγορίες, οπότε μέχρι τον ισομορφισμό των κατηγοριών, ο σκελετός μιας κατηγορίας είναι μοναδικός.

Η σημασία των σκελετών προέρχεται από το γεγονός ότι είναι (μέχρι ισομορφισμού των κατηγοριών), κανονικοί αντιπρόσωποι των κλάσεων ισοδυναμίας των κατηγοριών υπό τη σχέση ισοδυναμίας^[4] της ισοδυναμίας των κατηγοριών^[5]. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οποιοσδήποτε σκελετός μιας κατηγορίας C είναι ισοδύναμος με την C, και ότι δύο κατηγορίες είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν ισομορφικούς σκελετούς.

• Η κατηγορία Σύνολο όλων των συνόλων έχει ως σκελετό την υποκατηγορία όλων των πληθικών αριθμών.^[6]
• Η κατηγορία K-Vect όλων των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα σταθερό σώμα ${\displaystyle K}$ έχει ως σκελετό την υποκατηγορία που αποτελείται από όλες τις δυνάμεις ${\displaystyle K^{(\alpha )}}$, όπου “'α”' είναι οποιοσδήποτε πληθικός αριθμός, για κάθε πεπερασμένο m και n, οι απεικονίσεις ${\displaystyle K^{m}\to K^{n}}$ είναι ακριβώς οι n × m πίνακες με καταχωρήσεις στον K.
• FinSet, η κατηγορία όλων των πεπερασμένων συνόλων έχει ως σκελετό την FinOrd, την κατηγορία όλων των πεπερασμένων τακτικών αριθμών.
• Η κατηγορία όλων των καλά διατεταγμένων συνόλων έχει ως σκελετό την υποκατηγορία όλων των τακτικών αριθμών.
• Μια προδιάταξη, δηλαδή μια μικρή κατηγορία τέτοια ώστε για κάθε ζεύγος αντικειμένων ${\displaystyle A,B}$, το σύνολο ${\displaystyle {\mbox{Hom}}(A,B)}$ είτε έχει ένα στοιχείο είτε είναι κενό, έχει ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο ως σκελετό.
• Υπάρχουν πολλά παραδείγματα σκελετοποίησης κατηγοριών σύντηξης και συναφών δομών.

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Riehl, Emily (9 Μαρτίου 2017). Category Theory in Context. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82080-4. 
• Grandis, Marco (5 Μαρτίου 2021). Category Theory And Applications: A Textbook For Beginners (Second Edition). World Scientific. ISBN 978-981-12-3610-5. 
• Agore, Ana (12 Δεκεμβρίου 2023). A First Course in Category Theory. Springer Nature. ISBN 978-3-031-42899-9. 
• Awodey, Steve (2006). Category Theory. Ebsco Publishing. ISBN 978-0-19-151382-4. 
• Rabhi, Fethi A.· Gorlatch, Sergei (28 Ιουνίου 2011). Patterns and Skeletons for Parallel and Distributed Computing. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4471-0097-3. 
• Getzler, Ezra· Kapranov, Mikhail M. (1998). Higher Category Theory: Workshop on Higher Category Theory and Physics, March 28-30, 1997, Northwestern University, Evanston, IL. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1056-9. 
• Riehl, Emily· Verity, Dominic (10 Φεβρουαρίου 2022). Elements of ?-Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-83798-9. 
• Perrone, Paolo (8 Απριλίου 2024). Starting Category Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-8602-5. 
• Grandis, Marco (9 Σεπτεμβρίου 2019). Higher Dimensional Categories: From Double To Multiple Categories. World Scientific. ISBN 978-981-12-0512-5. 
• Fong, Brendan· Spivak, David I. (18 Ιουλίου 2019). An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-58224-7. 

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Dummit, David; Foote, Richard, Algebra 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research

• James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland 
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-03 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.