Προδεμάτιο (θεωρία κατηγοριών)

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα προδεμάτιο^[1] (αγγλικά:presheaf) σε μια κατηγορία ${\displaystyle C}$ είναι ένας συναρτητής ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$. Εάν ${\displaystyle C}$ είναι poset^[2] (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των ανοιχτών συνόλων σε έναν τοπολογικό χώρο, που ερμηνεύεται ως κατηγορία, τότε ανακτάται η συνήθης έννοια του προδεματίου σε έναν τοπολογικό χώρο.

Ένας μορφισμός των προδεματίων ορίζεται ως φυσικός μετασχηματισμός των συναρτητών. Αυτό μετατρέπει την συλλογή όλων των προδεματίων στο ${\displaystyle C}$ σε μια κατηγορία και αποτελεί παράδειγμα μιας κατηγορίας συναρτητών. Συχνά γράφεται ως ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ και ονομάζεται κατηγορία των προδεματίων στο ${\displaystyle C}$. Ένας συναρτητής στο ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ονομάζεται μερικές φορές προσυναρτητής^[3].

Ένα προδεμάτιο που είναι φυσικό ισομορφικό με τον αντίστροφο hom-συναρτητή Hom(–, A) για κάποιο αντικείμενο A του C ονομάζεται αναπαραστάσιμο προδεμάτιο.

Ορισμένοι συγγραφείς αναφέρονται σε έναν συναρτητή ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$ ως ${\displaystyle \mathbf {V} }$-valued προδεμάτιο.^[4]

• Ένα απλό σύνολο είναι Set-valued (Σύνολο τιμών) προδεματίου στην κατηγορία simplex^[5] ${\displaystyle C=\Delta }$.
• Ένας κατευθυνόμενος πολυγράφος είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και δύο παράλληλους μορφισμούς μεταξύ τους, δηλαδή ${\displaystyle C=(E{\overset {s}{\underset {t}{\longrightarrow }}}V)}$.
• Μια κατηγορία βέλους είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία με δύο στοιχεία και ένα μορφισμό μεταξύ τους. Δηλαδή ${\displaystyle C=(E{\overset {f}{\longrightarrow }}V)}$.
• Μια δεξιά ομάδα δράσης είναι ένα προδεμάτιο στην κατηγορία που δημιουργείται από μια ομάδα ${\displaystyle G}$, δηλαδή μια κατηγορία με ένα στοιχείο και αντιστρέψιμους μορφισμούς.

• Όταν ${\displaystyle C}$ είναι μια μικρή κατηγορία, η κατηγορία των συναρτητών ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$είναι καρτεσιανή κλειστή..
• To poset^[2] (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο) των υποαντικειμένων του ${\displaystyle P}$ σχηματίζει μια άλγεβρα Heyting, όποτε το ${\displaystyle P}$ είναι ένα αντικείμενο του ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ για μικρή ${\displaystyle C}$.
• Για κάθε μορφισμό ${\displaystyle f:X\to Y}$ του ${\displaystyle {\widehat {C}}}$, ο συναρτητής pullback των υποαντικειμένων ${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$ χει έναν δεξιό συζυγή, που συμβολίζεται ${\displaystyle \forall _{f}}$, και έναν αριστερό συζυγή, ${\displaystyle \exists _{f}}$. Αυτοί είναι οι καθολικοί και υπαρξιακοί ποσοδείκτες.
• Μια τοπικά μικρή κατηγορία ${\displaystyle C}$ ενσωματώνεται πλήρως και πιστά στην κατηγορία ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ των set-valued (Συνόλων τιμών) προδεματίων μέσω της εμφύτευσης Γιονέντα, η οποία σε κάθε αντικείμενο ${\displaystyle A}$ της ${\displaystyle C}$ συσχετίζει τον συναρτητή hom ${\displaystyle C(-,A)}$.
• Η κατηγορία ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ δέχεται μικρά όρια και μικρά συνόρια.^[6][7] Βλ. όριο και συνόριο των προδεματίων για περαιτέρω συζήτηση.
• Το θεώρημα της πυκνότητας δηλώνει ότι κάθε προδεμάτιο είναι ένα συνόριο αναπαραστάσιμων προδεματίων - στην πραγματικότητα, το ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ είναι η συνόριο πλήρωση του ${\displaystyle C}$ (Βλ.. #καθολική ιδιότητα που ακλουθεί)

Η κατασκευή ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$ ονομάζεται πλήρωση συνορίου(colimit)^[7]

. του C λόγω της ακόλουθης καθολικής ιδιότητας:

Πρόταση[8]—Έστω C, D κατηγορίες και ας υποθέσουμε ότι η D δέχεται μικρά συνόρια (colimits). Τότε κάθε συναρτητής  ${\displaystyle \eta :C\to D}$  παραγοντοποιείται ως εξής
:${\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$
όπου y είναι η εμφύτευση Γιονέντα και ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$ είναι ένας μοναδικός, μέχρι ισομορφισμού, συνοριακός συναρτηστής που διατηρεί το συνόριο[7], ο οποίος ονομάζεται επέκταση Γιονέντα του ${\displaystyle \eta }$.

Απόδειξη: Δεδομένου ενός προδεματίου F, σύμφωνα με το θεώρημα πυκνότητας, μπορούμε να γράψουμε ${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$ όπου ${\displaystyle U_{i}}$ είναι αντικείμενα στο C. Τότε ας θέσουμε το οποίο υπάρχει βάσει της παραδοχής. Δεδομένου ότι ${\displaystyle \varinjlim -}$ είναι συναρματικο, αυτό καθορίζει τον συναρτητή ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$. Συνοπτικά, το ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ είναι η αριστερή επέκταση Καν του ${\displaystyle \eta }$ κατά μήκος του y; Εξ ου και η ονομασία "επέκταση Γιονέντα". Για να δούμε ότι ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ αντιμετατίθεται με μικρά συνόρια^[7], φαίνεται ότι ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ είναι έναν αριστερό-συζυγή (σε κάποιο συναρτητή). Ορίζουμε ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$ ως τον συναρτητή που δίνεται από: για κάθε αντικείμενο M στο D και κάθε αντικείμενο U στο C,

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

Στη συνέχεια, για κάθε αντικείμενο M στο D, δεδομένου ότι ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$ σύμφωνα με το λήμμα Γιονέντα^[9] έχουμε:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}}$

που σημαίνει ότι ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ είναι έναν αριστερό-συζυγή προς ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$. ${\displaystyle \square }$

Η πρόταση έχει διάφορα συμπεράσματα. Επί παραδείγματι, η πρόταση υποδηλώνει ότι η κατασκευή ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$ είναι συναρματική: δηλαδή, κάθε συναρματική ${\displaystyle C\to D}$ καθορίζει τον συναρματική ${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$.

Ένα προδεμάτιο χώρων σε μια ∞-κατηγορία C είναι ένας ανταλλοίωτος συναρτητής από την C προς την ∞-κατηγορία χώρων ( παραδείγματος χάριν, το νεύρο της κατηγορίας των CW-συμπλεγμάτων)^[10] Είναι μια ∞-cκατηγορία εκδοχή ενός προδεματίου συνόλων, καθώς ένα «σύνολο» αντικαθίσταται από ένα "χώρο". Η εν λόγω έννοια χρησιμοποιείται, μεταξύ άλλων, στη διατύπωση της ∞-κατηγορίας του λήμματος του Γιονέντα που λέει: ${\displaystyle C\to {\widehat {C}}}$ είναι πλήρως πιστή (εδώ το C μπορεί να είναι απλά ένα απλοϊκό σύνολο.)^[11]

Ένα συν-προδεμάτιο (copresheaf ) μιας κατηγορίας C είναι ένα προδεμάτιο της C^op. Με άλλα λόγια, είναι ένας συναλλοίωτος συναρτητής από την C στο Set.^[12]

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Μαθηματική Γλωσσολογία: από τη Θεωρία Κατηγοριών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Κατηγορίες Μοντέλα - Μεταπτυχιακή ∆ιατριβή - Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Θεωρία Δακτυλίων-Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Moggi, Eugenio· Rosolini, Giuseppe (20 Αυγούστου 1997). Category Theory and Computer Science: 7th International Conference, CTCS'97, Santa Margherita Ligure Italy, September 4-6, 1997, Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-63455-3. 
• Yanofsky, Noson S. (5 Νοεμβρίου 2024). Monoidal Category Theory: Unifying Concepts in Mathematics, Physics, and Computing. MIT Press. ISBN 978-0-262-04939-9. 
• Riehl, Emily (9 Μαρτίου 2017). Category Theory in Context. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82080-4. 
• Simpson, Carlos (20 Οκτωβρίου 2011). Homotopy Theory of Higher Categories: From Segal Categories to n-Categories and Beyond. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50219-1. 
• Wuppuluri, Shyam· Ghirardi, Giancarlo (1 Δεκεμβρίου 2016). Space, Time and the Limits of Human Understanding. Springer. ISBN 978-3-319-44418-5. 
• Simos, Theodore· Maroulis, George (29 Απριλίου 2019). International Conference of Computational Methods in Sciences and Engineering (ICCMSE 2004). CRC Press. ISBN 978-0-429-53030-2. 
• Kato, Goro C. (8 Μαΐου 2025). Temporal Topos Methods for the Philosophy of Natural Sciences: The Nexus of Ontology and Epistemology. Springer Nature. ISBN 978-981-96-2420-1. 
• Jardine, John F. (9 Δεκεμβρίου 2010). Generalized Etale Cohomology Theories. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0348-0066-2. 
• Joharinad, Parvaneh· Jost, Jürgen (29 Ιουλίου 2023). Mathematical Principles of Topological and Geometric Data Analysis. Springer Nature. ISBN 978-3-031-33440-5. 
• Gadducci, Fabio· Tavosanis, Mirko (5 Οκτωβρίου 2016). History and Philosophy of Computing: Third International Conference, HaPoC 2015, Pisa, Italy, October 8-11, 2015, Revised Selected Papers. Springer. ISBN 978-3-319-47286-7. 

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Munkres, James R. (1993). Elements of Algebraic Topology. New York: Westview Press. ISBN 0-201-62728-0. 
• Artin, Michael· Alexandre Grothendieck· Jean-Louis Verdier, επιμ. (1972). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Lecture notes in mathematics (στα Γαλλικά). 269. Berlin; New York: Springer-Verlag. xix+525. doi:10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-05896-0. 
• Giraud, Jean (1964), «Analysis situs», Séminaire Bourbaki, 1962/63. Fasc. 3,, Paris: Secrétariat mathématique, http://www.numdam.org/item?id=SB_1962-1964__8__189_0 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context (PDF). Dover Publications. ISBN 978-0-486-80903-8. OCLC 1006743127. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 14 Δεκεμβρίου 2019. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2025. 
• Riguet, Jacques; Guitart, Rene (1992). «Enveloppe Karoubienne et categorie de Kleisli». Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 33 (3): 261–6.
  MR 1186950
  . http://www.numdam.org/item/CTGDC_1992__33_3_261_0. 
• Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013). «A duality formalism in the spirit of Grothendieck and Verdier». Quantum Topology 4 (4): 447–489. doi:10.4171/QT/45. 
• star-autonomous category at the nLab
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001. 
• This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects Αρχειοθετήθηκε 2005-11-11 στο Wayback Machine..
• Pedicchio, Maria Cristina· Tholen, Walter, επιμ. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001. 
• Theory of Categories. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1965. ISBN 978-0-08-087329-9. 
• Awodey, Steve (2010), Category theory (2nd έκδοση), Oxford: Oxford University Press, ISBN 9780199237180, OCLC 740446073 
• Gleason, Andrew M. (1958), «Projective topological spaces», Illinois Journal of Mathematics 2 (4A): 482–489, doi:10.1215/ijm/1255454110 
• Mac Lane, Saunders (1978), Categories for the Working Mathematician (Second έκδοση), New York, NY: Springer New York, σελ. 114, ISBN 1441931236, OCLC 851741862 
• Mitchell, Barry (1965). Theory of categories. Pure and applied mathematics. Vol. 17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787.
• Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover Publications, Inc Mineola, New York. ISBN 9780486809038. 
• Tsalenko, M.S.· Shulgeifer, E.G. (1974). Foundations of category theory. Nauka. ISBN 5-02-014427-4. 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Epimorphism», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035890 
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-09-14 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.