Θεώρημα του Λιουβίλ (διαφορική άλγεβρα)

Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης. Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.

Στα μαθηματικά, το θεώρημα του Λιουβίλ, το οποίο διατυπώθηκε αρχικά από τον Γάλλο μαθηματικό Ζοζέφ Λιουβίλ το 1833 έως το 1841,^[1][2][3] θέτει έναν σημαντικό περιορισμό στις αντιπαραγωγές που μπορούν να εκφραστούν ως στοιχειώδεις συναρτήσεις.

Τα αντιπαράγωγα ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων δεν μπορούν να εκφραστούν οι ίδιες ως στοιχειώδεις συναρτήσεις. Αυτές ονομάζονται μη στοιχειώδεις αντιπαραγωγές. Ένα τυπικό παράδειγμα μιας τέτοιας συνάρτησης είναι η ${\displaystyle e^{-x^{2}},}$ της οποίας το αντιπαράγωγο είναι (με πολλαπλασιαστή μια σταθερά) η συνάρτηση σφάλματος^[4], γνωστή από τη στατιστική. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν τις συναρτήσεις ${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}}$ και ${\displaystyle x^{x}.}$

Το θεώρημα του Λιουβίλ δηλώνει ότι οι στοιχειώδεις αντιπαράγωγοι, αν υπάρχουν, βρίσκονται στο ίδιο διαφορικό σώμα με τη συνάρτηση, συν ενδεχομένως έναν πεπερασμένο αριθμό εφαρμογών της συνάρτησης του λογαρίθμου.

Για κάθε διαφορικό σώμα ${\displaystyle F,}$ οι σταθερές του ${\displaystyle F}$ είναι το υποσώμα

${\displaystyle \operatorname {Con} (F)=\{f\in F:Df=0\}.}$

Δεδομένων δύο διαφορικών σωμάτων ${\displaystyle F}$ και ${\displaystyle G,}$ το ${\displaystyle G}$ ονομάζεται λογοριθμική επέκταση του ${\displaystyle F}$ αν το ${\displaystyle G}$ είναι μια απλή υπερβατική επέκταση^[5] του ${\displaystyle F}$ (δηλαδή ${\displaystyle G=F(t)}$ για κάποιο υπερβατικό ${\displaystyle t}$) τέτοια ώστε

${\displaystyle Dt={\frac {Ds}{s}}\quad {\text{ για κάποια }}s\in F.}$

Αυτό έχει τη μορφή λογαριθμικής παραγώγου. Διαισθητικά, μπορεί κανείς να σκεφτεί το ${\displaystyle t}$ ως τον λογάριθμο κάποιου στοιχείου ${\displaystyle s}$ του ${\displaystyle F,}$ οπότε, η συνθήκη αυτή είναι ανάλογη με τον συνηθισμένο κανόνα της αλυσίδας. Ωστόσο, η ${\displaystyle F}$ δεν είναι αναγκαστικά εξοπλισμένη με έναν μοναδικό λογάριθμο- θα μπορούσε κανείς να προσαρτήσει πολλές "σαν λογάριθμο" επεκτάσεις στην ${\displaystyle F.}$ Ομοίως, μια εκθετική επέκταση είναι μια απλή υπερβατική επέκταση που ικανοποιεί την εξής συνθήκη

${\displaystyle {\frac {Dt}{t}}=Ds\quad {\text{ για κάποια }}s\in F.}$

Με την παραπάνω προειδοποίηση κατά νου, το στοιχείο αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως εκθετικό ενός στοιχείου ${\displaystyle s}$ του ${\displaystyle F.}$ Τέλος, το ${\displaystyle G}$ ονομάζεται στοιχειώδης διαφορική επέκταση του ${\displaystyle F}$ αν υπάρχει μια πεπερασμένη αλυσίδα υποσωμάτων από το ${\displaystyle F}$ στο ${\displaystyle G}$ όπου κάθε επέκταση στην αλυσίδα είναι είτε αλγεβρική, είτε λογαριθμική, είτε εκθετική.

Έστω ότι ${\displaystyle F}$ και ${\displaystyle G}$ είναι διαφορικά σώματα με ${\displaystyle \operatorname {Con} (F)=\operatorname {Con} (G),}$ και ότι ${\displaystyle G}$ είναι μια στοιχειώδης διαφορική επέκταση του ${\displaystyle F.}$ Ας υποθέσουμε ότι ${\displaystyle f\in F}$ και ${\displaystyle g\in G}$ ικανοποιούν την ${\displaystyle Dg=f}$ (με άλλα λόγια, ας υποθέσουμε ότι ${\displaystyle G}$ περιέχει ένα αντιπαράγωγο του ${\displaystyle f}$). Τότε υπάρχουν ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in \operatorname {Con} (F)}$ και ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n},s\in F}$ έτσι ώστε

${\displaystyle f=c_{1}{\frac {Df_{1}}{f_{1}}}+\dotsb +c_{n}{\frac {Df_{n}}{f_{n}}}+Ds.}$

Με άλλα λόγια, οι μόνες συναρτήσεις που έχουν "στοιχειώδη αντιπαράγωγα" (δηλαδή αντιπαράγωγα που ζουν, στη χειρότερη περίπτωση, σε μια στοιχειώδη διαφορική επέκταση της ${\displaystyle F}$) είναι εκείνες με αυτή τη μορφή. Έτσι, σε ένα διαισθητικό επίπεδο, το θεώρημα δηλώνει ότι τα μόνα στοιχειώδη αντιπαράγωγα είναι οι "απλές" συναρτήσεις συν ένας πεπερασμένος αριθμός λογαρίθμων των "απλών" συναρτήσεων.

Μια απόδειξη του θεωρήματος του Λιουβίλ μπορεί να βρεθεί στην ενότητα 12.4 του "Γκέντες" κ.λπ.^[6] Δείτε την επιστημονική βιβλιογραφία του Λύτσεν για ένα σκαρίφημα της αρχικής απόδειξης του Λιουβίλ ^[7] (Κεφάλαιο IX. Ολοκλήρωση με πεπερασμένους όρους), η σύγχρονη έκθεση και η αλγεβρική της επεξεργασία (ibid. §61).

Ως παράδειγμα, το σώμα ${\displaystyle F:=\mathbb {C} (x)}$ των ρητών συναρτήσεων σε μία μόνο μεταβλητή έχει μια παραγώγιση που δίνεται από την τυπική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή αυτή. Οι σταθερές αυτού του σώματος είναι απλά οι μιγαδικοί αριθμοί ${\displaystyle \mathbb {C}$ ;} δηλαδή, ${\displaystyle \operatorname {Con} (\mathbb {C} (x))=\mathbb {C} ,}$

Η συνάρτηση ${\displaystyle f:={\tfrac {1}{x}},}$ που υπάρχει στο ${\displaystyle \mathbb {C} (x),}$ δεν έχει αντιπαράγωγο στο ${\displaystyle \mathbb {C} (x).}$ Τα αντιπαράγωγά της ${\displaystyle \ln x+C}$ υπάρχουν, ωστόσο, στη λογαριθμική επέκταση

${\displaystyle \mathbb {C} (x,\ln x).}$

Ομοίως, η συνάρτηση ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{2}+1}}}$ δεν έχει αντιπαράγωγο στο ${\displaystyle \mathbb {C} (x).}$ Τα αντιπαράγωγά της ${\displaystyle \tan ^{-1}(x)+C}$ δεν φαίνεται να ικανοποιούν τις απαιτήσεις του θεωρήματος, αφού δεν είναι (προφανώς) αθροίσματα ρητών συναρτήσεων και λογάριθμοι ρητών συναρτήσεων. Ωστόσο, ένας υπολογισμός με τον τύπο του Όιλερ ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ δείχνει ότι στην πραγματικότητα τα αντιπαράγωγα μπορούν να γραφούν με τον απαιτούμενο τρόπο (ως λογάριθμοι ρητών συναρτήσεων).

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2i\theta }&={\frac {e^{i\theta }}{e^{-i\theta }}}={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{\cos \theta -i\sin \theta }}={\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\\\theta &={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+i\tan \theta }{1-i\tan \theta }}\right)\\\tan ^{-1}x&={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)\end{aligned}}}$

Το θεώρημα του Λιουβίλ παρουσιάζεται μερικές φορές ως θεώρημα της διαφορικής θεωρίας Γκαλουά, αλλά αυτό δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα. Το θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς καμία χρήση της θεωρίας Γκαλουά. Επιπλέον, η ομάδα Γκαλουά ενός απλού αντιπαραγωγικού είναι είτε τετριμμένη (αν δεν απαιτείται επέκταση σώματος για να εκφραστεί), είτε είναι απλώς η προσθετική ομάδα των σταθερών (που αντιστοιχεί στη σταθερά ολοκλήρωσης). Ως εκ τούτου, η διαφορική ομάδα Γκαλουά μιας αντιπαραγωγού δεν κωδικοποιεί αρκετές πληροφορίες για να καθοριστεί αν μπορεί να εκφραστεί με τη χρήση στοιχειωδών συναρτήσεων, τη βασική προϋπόθεση του θεωρήματος του Λιουβίλ.

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Σώμα διασπάσεως
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Νοεροί υπολογισμοί

• Differential Algebra & Algebraic Groups. Academic Press. 15 Ιουνίου 1973. ISBN 978-0-08-087369-5. 
• Aschenbrenner, Matthias· Dries, Lou van den (6 Ιουνίου 2017). Asymptotic Differential Algebra and Model Theory of Transseries. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8541-1. 
• Humanez, Primitivo B. Acosta· Marcellán, Francisco (2010). Differential Algebra, Complex Analysis and Orthogonal Polynomials: Jairo Charris Seminar 2007-2008, Escuela de Matemáticas, Universidad Sergio Arboleda, Bogotá, Colombia. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4886-9. 
• Bass, Hyman· Cassidy, Phyllis J. (10 Μαΐου 2014). Contributions to Algebra: A Collection of Papers Dedicated to Ellis Kolchin. Academic Press. ISBN 978-1-4832-6806-4. 
• Cassidy, Phyllis J.· Guo, Li (30 Μαΐου 2002). Differential Algebra And Related Topics - Proceedings Of The International Workshop. World Scientific. ISBN 978-981-4490-50-4. 
• Kolchin, Ellis Robert· Buium, Alexandru (1999). Selected Works of Ellis Kolchin with Commentary. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0542-8. 
• Khovanskii, Askold (10 Οκτωβρίου 2014). Topological Galois Theory: Solvability and Unsolvability of Equations in Finite Terms. Springer. ISBN 978-3-642-38871-2. 
• Chambert-Loir, Antoine (21 Δεκεμβρίου 2007). A Field Guide to Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-26955-9. 
• Calmet, J. (8 Οκτωβρίου 1982). Computer Algebra: EUROCAM '82, European Computer Algebra Conference, Marseilles, France, April 5-7, 1982. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-11607-3. 
• Hazewinkel, M. (1 Δεκεμβρίου 2013). Encyclopaedia of Mathematics: Coproduct — Hausdorff—Young Inequalities. Springer. ISBN 978-1-4899-3795-7. 

• Bertrand, D. (1996), «Review of "Lectures on differential Galois theory"», Bulletin of the American Mathematical Society 33 (2), doi:10.1090/s0273-0979-96-00652-0, ISSN 0002-9904, https://www.ams.org/bull/1996-33-02/S0273-0979-96-00652-0/S0273-0979-96-00652-0.pdf 
• Geddes, Keith O.· Czapor, Stephen R.· Labahn, George (1992). Algorithms for Computer Algebra. Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-9259-0. 
• Liouville, Joseph (1833a). «Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique». Journal de l'École Polytechnique tome XIV: 124–148. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433678n/f127.item.r=Liouville. 
• Liouville, Joseph (1833b). «Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique». Journal de l'École Polytechnique tome XIV: 149–193. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k433678n/f152.item.r=Liouville. 
• Liouville, Joseph (1833c). «Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique». Journal für die reine und angewandte Mathematik 10: 347–359. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PID=GDZPPN002139332. 
• Magid, Andy R. (1994), Lectures on differential Galois theory, University Lecture Series, 7, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-7004-4, https://books.google.com/books?id=cJ9vByhPqQ8C 
• Magid, Andy R. (1999), «Differential Galois theory», Notices of the American Mathematical Society 46 (9): 1041–1049, ISSN 0002-9920, https://www.ams.org/notices/199909/fea-magid.pdf 
• van der Put, Marius; Singer, Michael F. (2003), Galois theory of linear differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 328, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-44228-8, http://www4.ncsu.edu/~singer/ms_papers.html 

• Pop, Florian (1995), «Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture», Inventiones Mathematicae 120 (3): 555–578, doi:10.1007/bf01241142 
• Mináč, Ján; Tân, Nguyên Duy (2016), «Triple Massey products and Galois Theory», Journal of European Mathematical Society 19 (1): 255–284 
• Harpaz, Yonatan; Wittenberg, Olivier (2023), «The Massey vanishing conjecture for number fields», Duke Mathematical Journal 172 (1): 1–41 
• Szamuely, Tamás (2009), Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 117, Cambridge: Cambridge University Press 
• Lubin, Jonathan (1981), «The local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 267 (1): 133–138, doi:10.2307/1998574, ISSN 0002-9947 
• Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), «Formal complex multiplication in local fields», Annals of Mathematics, Second Series 81 (2): 380–387, doi:10.2307/1970622, ISSN 0003-486X 
• Lubin, Jonathan; Tate, John (1966), «Formal moduli for one-parameter formal Lie groups», Bulletin de la Société Mathématique de France 94: 49–59, doi:10.24033/bsmf.1633, ISSN 0037-9484, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1966__94__49_0 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 
• Šafarevič, I. R. (1951), A new proof of the Kronecker-Weber theorem, Trudy Mat. Inst. Steklov., 38, Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR, σελ. 382–387, http://mi.mathnet.ru/eng/tm/v38/p382 

• Parshall, K. H. (1983). «In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen». Archives of International History of Science 33: 274–99. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• Elman, Richard; Lam, T. Y. (1972), «Quadratic forms over formally real fields and pythagorean fields», American Journal of Mathematics 94 (4): 1155–1194, doi:10.2307/2373568, ISSN 0002-9327 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.