Τύπος Βραχμαγκούπτα

Στην γεωμετρία, το τύπος Βραχμαγκούπτα είναι ένας μαθηματικός τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ως συνάρτηση των μηκών των πλευρών του.^[1]^:243^[2]^:135

Πιο συγκεκριμένα, για κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ το εμβαδόν του τετραπλεύρου δίνεται από τον τύπο

{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}

,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ είναι η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδική περίπτωση αυτού του τύπου είναι ο τύπος του Ήρωνα, ο οποίος δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου, και προκύπτει θέτοντας $\delta =0$ .

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Ινδό μαθηματικό Βραχμαγκούπτα.^[3]

Απόδειξη

Χωρίζουμε το τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ στα επιμέρους τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ . Τα εμβαδά αυτών των τριγώνων είναι

{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\alpha \cdot \beta \cdot \sin {\rm {B}}

,

{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma \Delta }}={\tfrac {1}{2}}\gamma \cdot \delta \cdot \sin {\rm {\Delta }}={\tfrac {1}{2}}\gamma \cdot \delta \cdot \sin {\rm {B}}

,

καθώς ${\hat {\rm {B}}}=180^{\circ }-{\hat {\rm {\Delta }}}$ , ως απέναντι γωνίες σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

Αθροίζοντας τους δύο τύπους έχουμε

${\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}\cdot (\sin {\rm {B}})^{2}={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}\cdot (1-(\cos {\rm {B}})^{2})$ .

(1)

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων

{\rm {A\Gamma ^{2}}}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \cdot \cos {\rm {B}}

,

{\rm {A\Gamma ^{2}}}=\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\gamma \delta \cdot \cos {\rm {\Delta }}=\gamma ^{2}+\delta ^{2}+2\gamma \delta \cdot \cos {\rm {B}}

.

Αφαιρώντας κατά μέλη, λαμβάνουμε ότι

2\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot \cos {\rm {B}}=-(\alpha ^{2}+\beta ^{2})+(\gamma ^{2}+\delta ^{2})

.

Επιστρέφοντας στην (1), λαμβάνουμε ότι

{\begin{aligned}{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}&={\tfrac {1}{4}}(\alpha \beta +\gamma \delta )^{2}+{\tfrac {1}{16}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2})^{2}\end{aligned}}

Χρησιμοποιώντας τους τύπους $x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)$ (διαφορά τετραγώνων) και $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$ (τετράγωνο αθροίσματος), έχουμε ότι

{\begin{aligned}{\phantom {{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}^{2}}}&={\tfrac {1}{16}}\cdot \left(2\alpha \beta +2\gamma \delta +\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}-\delta ^{2}\right)\\&\qquad \cdot \left(2\alpha \beta +2\gamma \delta -\alpha ^{2}-\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{16}}\cdot \left((\alpha +\beta )^{2}-(\gamma -\delta )^{2}\right)\cdot \left((\gamma +\delta )^{2}-(\alpha -\beta )^{2}\right)\\&={\tfrac {1}{16}}\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta +\gamma -\delta )\\&\qquad \cdot (\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\\&=(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta ),\end{aligned}}

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ .

Σχετικοί τύποι

Τύπος Ήρωνα

Ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν για κάθε τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ ως

\mathrm {E} ={\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}

.

Προκύπτει ως ειδική περίπτωση του τύπου Βραχμαγκούπτα όπου μία από τις πλευρές του τετραπλεύρου την θέτουμε να έχει μήκος μηδέν.

Τύπος Μπρετσνάιντερ

Ο τύπος Μπρετσνάιντερ γενικεύει τον τύπο Βραχμαγκούπτα και δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ ως

\mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos({\rm {A}}+{\rm {\Gamma }}))}}

.

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα προκύπτει ως ειδική περίπτωση όπου το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, δηλαδή ${\rm {A+\Gamma =180^{\circ }}}$ και $\cos({\rm {A+\Gamma }})=-1$ .

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

Atzema, Eisso J. (2015). «On a flawed, 16th-century derivation of Brahmagupta's formula for the area of a cyclic quadrilateral». Forum Geometricorum (15): 165-172. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2020-07-16. https://web.archive.org/web/20200716223444/http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201515.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-03-07.

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Kay, David C. (2001). College geometry: a discovery approach (2nd έκδοση). Boston: Addison-Wesley Longman. ISBN 978-0321046246.
↑ Coxeter, H. S. M.· Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. σελ. 59.

[Tav-1] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[2] Kay, David C. (2001). College geometry: a discovery approach (2nd έκδοση). Boston: Addison-Wesley Longman. ISBN 978-0321046246.

[3] Coxeter, H. S. M.· Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. σελ. 59.

[1]

[2]

[3]