Περιγράψιμο τετράπλευρο

Στην γεωμετρία, ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε έναν κύκλο, αν και οι τέσσερις πλευρές του εφάπτονται στον κύκλο.^[1]^:121-123^[2]^[3]^[4] Ο κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος του τετραπλεύρου και το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο σε αυτόν.

Περιγεγραμμένο τετράπλευρο

{\rm {AB\Gamma \Delta }}

και τα σημεία επαφής

{\rm {I_{\alpha },I_{\beta },I_{\gamma },I_{\delta }}}

του κύκλου με τις πλευρές του.

Παραγεγραμμένο τετράπλευρο

{\rm {AB\Gamma \Delta }}

και τα σημεία επαφής

{\rm {I_{\alpha },I_{\beta },I_{\gamma },I_{\delta }}}

του κύκλου με τις πλευρές του (και τις προεκτάσεις τους).

Όταν ο κύκλος βρίσκεται εξωτερικά του τετραπλεύρου, το τετράπλευρο λέγεται παρεγγεγραμμένο στον κύκλο.

Ιδιότητες

Σε ένα περιγράψιμο τετράπλευρο οι διχοτόμοι τέμνονται στο κέντρο του κύκλου του.

Σε ένα περιγράψιμο τετράπλευρο,

{\rm {AB}}+{\rm {\Gamma \Delta }}={\rm {B\Gamma }}+{\rm {A\Delta }}

.

Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι διχοτόμοι των (εσωτερικών) του γωνιών διέρχονται από το ίδιο σημείο.^[3]^[4]
(Θεώρημα Πιτό) Ένα τετράπλευρο είναι περιγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν το άθροισμα των απέναντι πλευρών είναι το ίδιο.^{[Σημείωση 1]}^[3]^[4]
Ένα περιγράψιμο τετράπλευρο είναι και εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν τα αποστήματα των απέναντι σημείων επαφής είναι κάθετα μεταξύ τους.^[4]^: 115

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου είναι^[5]^:466

{\rm {E}}=\tau \cdot \rho

,

όπου

\tau

η ημιπερίμετρος του, και

\rho

είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου του κύκλου.

Το εμβαδόν ενός περιγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$

{\rm {E}}={\sqrt {\alpha \beta \gamma \delta }}\cdot \sin {\tfrac {\rm {A+\Gamma }}{2}}

.

Μετρικές σχέσεις

Η ακτίνα $\rho$ του εγγεγραμμένου του κύκλου είναι ίση με^[6]

\rho ={\sqrt {\frac {wxy+xyz+yzw+zwx}{w+x+y+z}}}

.

Οι διαγώνιοι του δίνονται από τις σχέσεις^[7]^[8]

{\rm {A\Gamma }}={\sqrt {{\frac {x+z}{w+y}}\cdot ((x+z)\cdot (w+y)+4wy)}}

,

και

{\rm {B\Delta }}={\sqrt {{\frac {w+y}{x+z}}\cdot ((x+z)\cdot (w+y)+4xz)}}

.

Ειδικές περιπτώσεις

Το δελτοειδές είναι περιγράψιμο σε κύκλο. Ειδικές περιπτώσεις αυτού είναι ο ρόμβος και το τετράγωνο.

Δείτε επίσης

Σημείωση

↑ Μπορείτε να δείτε την απόδειξη εδώ.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

Minculete, Nicusor (2009). «Characterizations of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (9): 113-118. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-06-25. https://web.archive.org/web/20240625043007/https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.
Josefsson, Martin (2011). «More characterizations of tangential quadrilaterals». Forum Geometricorum (11): 65-82. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103062731/https://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-03-01.

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία 1 Τρίγωνα-Τετράπλευρα-Κύκλος-Εγγράψιμα. Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.
1 2 3 Γιαννελος, Π.· Δρακοπουλος, Μ. (1976). Γεωμετρία: Τόμος Πρώτος. Αθήνα. σελίδες 73–75.
1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελίδες 113–115.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Josefsson, Martin (2010). «On the inradius of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (10): 27-34. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103062728/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.
↑ Josefsson, Martin (2010). «Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (10): 119-130. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103063435/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.
↑ Hajja, Mowaffaq (2008). «A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclci». Forum Geometricorum (8): 103-106. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-06-16. https://web.archive.org/web/20240616135019/https://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[5] Μπορείτε να δείτε την απόδειξη εδώ.

[Tav-1] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[2] Στεργίου, Μπάμπης. Γεωμετρία 1 Τρίγωνα-Τετράπλευρα-Κύκλος-Εγγράψιμα. Σαββάλας. ISBN 978-960-493-035-7.

[GD76-3] 1 2 3 Γιαννελος, Π.· Δρακοπουλος, Μ. (1976). Γεωμετρία: Τόμος Πρώτος. Αθήνα. σελίδες 73–75.

[S73-4] 1 2 3 4 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα. σελίδες 113–115.

[T57-6] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[7] Josefsson, Martin (2010). «On the inradius of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (10): 27-34. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103062728/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.

[8] Josefsson, Martin (2010). «Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral». Forum Geometricorum (10): 119-130. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2023-01-03. https://web.archive.org/web/20230103063435/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.

[9] Hajja, Mowaffaq (2008). «A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclci». Forum Geometricorum (8): 103-106. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2024-06-16. https://web.archive.org/web/20240616135019/https://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf. Ανακτήθηκε στις 2026-02-28.

[1]

[2]

[3]

[4]

[Σημείωση 1]

[5]

[6]

[7]

[8]