Μεσοκάθετο επίπεδο ευθυγράμμου τμήματος

Το επίπεδο διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ δηλαδή συμπεριλαμβάνει το σημείο ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )}$. Επιπλέον το επίπεδο είναι κάθετο στο ευθύγραμμο τμήμα ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {b} -\mathbf {a} }$, επομένως το επίπεδο περιλαμβάνει όλα τα σημεία ${\displaystyle \mathbf {x} }$ για τα οποία

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0}$

ή ισοδύναμα

${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {x} ={\frac {1}{2}}(\|\mathbf {b} \|^{2}-\|\mathbf {a} \|^{2})}$.

Αναζητούμε όλα τα σημεία ${\displaystyle {\rm {P}}=(x,y,z)}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι ${\displaystyle {\rm {PA}}={\rm {PB}}}$. Δηλαδή, από τον ορισμό της Ευκλείδειας απόστασης

${\displaystyle {\sqrt {(x-a_{1})^{2}+(y-a_{2})^{2}+(z-a_{3})^{2}}}={\sqrt {(x-b_{1})^{2}+(y-b_{2})^{2}+(z-b_{3})^{2}}}}$,

ισοδύναμα

${\displaystyle (x-a_{1})^{2}+(y-a_{2})^{2}+(z-a_{3})^{2}=(x-b_{1})^{2}+(y-b_{2})^{2}+(z-b_{3})^{2}}$,

ή χρησιμοποιώντας την ταυτότητα για το τετράγωνο αθροίσματος ${\displaystyle (\alpha +\beta )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}}$

${\displaystyle -2xa_{1}+a_{1}^{2}-2ya_{2}+a_{2}^{2}-2za_{3}+a_{3}^{2}=-2xb_{1}+b_{1}^{2}-2yb_{2}+b_{2}^{2}-2zb_{3}+b_{3}^{2}}$.

Αναδιατάσσοντας λαμβάνουμε ότι

${\displaystyle (b_{1}-a_{1})x+(b_{2}-a_{2})y+(b_{3}-a_{3})z={\frac {1}{2}}(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}-a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2})}$,

που είναι η εξίσωση για το μεσοκάθετο επίπεδο.