Κυκλικοί πρώτοι αριθμοί

Οι γνωστοί κυκλικοί πρώτοι αριθμοί είναι οι εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 197, 199, 311, 337, 373, 719, ... (ακολουθία A068652 στην OEIS)

Οι μικρότεροι αντιπρόσωποι σε κάθε μετάθεση των κυκλικών πρώτων αριθμών είναι οι εξής:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 197, 199, 337, 1193, 3779, 11939, 19937, 193939, 199933, R₁₉, R₂₃, ... (ακολουθία A016114 στην OEIS)

όπου R_n := ${\displaystyle {\tfrac {10^{n}-1}{9}}}$ είναι ένας αριθμός που αποτελείται μόνο από n άσσους (στη βάση 10). Δεν υπάρχουν άλλοι κυκλικοί πρώτοι αριθμοί έως τον αριθμό 10²⁵.^[3]

Τα μόνα άλλα γνωστά παραδείγματα είναι οι πρώτοι αριθμοί που αποτελούνται μόνο από άσσους, οι οποίοι είναι εξ ορισμού κυκλικοί πρώτοι αριθμοί:

R₂ (11), R₁₉, R₂₃, R₃₁₇, R₁₀₃₁, R₄₉₀₈₁, R₈₆₄₅₃, R₁₀₉₂₉₇, R₂₇₀₃₄₃, R_5794777, R_8177207, ... (ακολουθία A004023 στην OEIS)

Εικάζεται ότι υπάρχουν πεπερασμένοι κυκλικοί πρώτοι αριθμοί, αν εξαιρέσουμε τους αριθμούς που έχουν μόνο άσσους.^[4]

Ένας κυκλικός πρώτος αριθμός με τουλάχιστον δύο ψηφία πρέπει να αποτελείται μόνο από συνδυασμούς των ψηφίων 1, 3, 7 ή 9, διότι αν έχει το 0, 2, 4, 6 ή 8 ως τελευταίο ψηφίο, ο αριθμός θα διαιρείται με το 2, και αν έχει το 0 ή το 5 ως τελευταίο ψηφίο, θα διαιρείται με το 5.^[5]

• Κυκλικοί πρώτοι αριθμοί στο The Prime Glossary
• Κυκλικοί πρώτοι αριθμοί στο World of Numbers
• Διάφορα είδη πρώτων αριθμών
• Απόλυτοι πρώτοι αριθμοί (συμπεριλαμβανομένων των κυκλικών πρώτων αριθμών), βίντεο από το κανάλι Numberphile στο Youtube