Αντιμεταθετικό διάγραμμα

Ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα αποτελείται συχνά από τρία μέρη:

• αντικείμενα (γνωστά και ως κορυφές)
• μορφισμοί (γνωστοί και ως βέλη ή άκρες)
• διαδρομές ή σύνθετα

Το διάγραμμα κυνηγιού (αγγλικά:Diagram chasing) (ονομάζονται επίσης διαγραμματική αναζήτησης) είναι μια μέθοδος μαθηματικής απόδειξης που χρησιμοποιείται ειδικά στην ομολογική άλγεβρα, όπου κάποιος αποδεικνύει μια ιδιότητα κάποιου μορφισμού ανιχνεύοντας τα στοιχεία ενός αντιμεταθετικού διαγράμματος. Μια απόδειξη με διαγράμματα κυνηγιού συνήθως περιλαμβάνει τη τυπική χρήση των ιδιοτήτων του διαγράμματος, όπως ερριπτικες ή επιρριπτικες απεικονίσεις ή ακριβείς ακολουθίες.^[7] Δημιουργείται ένας συλλογισμός, για τον οποίο η γραφική απεικόνιση του διαγράμματος αποτελεί απλώς ένα οπτικό βοήθημα. Συνεπώς, καταλήγουμε να "κυνηγάμε" στοιχεία στο διάγραμμα, μέχρι να δημιουργηθεί ή να επαληθευτεί το επιθυμητό στοιχείο ή αποτέλεσμα.

Παραδείγματα αποδείξεων με διάγραμμα περιλαμβάνουν εκείνα που δίνονται συνήθως για το λήμμα των πέντε^[8], το λήμμα του φιδιού^[9], το λήμμα του ζιγκ-ζαγκ^[10] και το λήμμα των εννέα^[11].

Στην ανώτερη θεωρία κατηγοριών, δεν εξετάζονται μόνο τα αντικείμενα και τα βέλη, αλλά και τα βέλη μεταξύ των βελών, τα βέλη μεταξύ των βελών μεταξύ των βελών και ούτω καθεξής επ' άπειρον. Παραδείγματος χάριν, η κατηγορία των μικρών κατηγοριών Cat^[12] είναι φυσικά μια 2-κατηγορία, με τους συναρτητές ως βέλη της και τους φυσικούς μετασχηματισμούς ως βέλη μεταξύ των συναρτητών. Σε αυτό το πλαίσιο, τα αντιμεταθετικά διαγράμματα μπορεί να περιλαμβάνουν και αυτά τα ανώτερα βέλη, τα οποία συχνά απεικονίζονται με τον ακόλουθο τρόπο: ${\displaystyle \Rightarrow }$. Ενδεικτικά, το ακόλουθο (κάπως τετριμμένο) διάγραμμα απεικονίζει δύο κατηγορίες C καιD, μαζί με δύο συναρτητές F, G : C → D και ένα φυσικό μετασχηματισμό α : F ⇒ G:

Υπάρχουν δύο είδη σύνθεσης σε μια 2-κατηγορία (που ονομάζονται κάθετη σύνθεση και οριζόντια σύνθεση) και μπορούν επίσης να απεικονιστούν μέσω διαγραμμάτων επικόλλησης (βλ. Ορισμοί για παραδείγματα).

Βλ.Διάγραμμα (θεωρία κατηγοριών)

Ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα σε μια κατηγορία C μπορεί να ερμηνευθεί ως ένας συναρτητής από μια κατηγορία δείκτη J προς C . Ο συναρτητής ονομάζεται διάγραμμα.

Πιο τυπικά, ένα αντιμεταθετικό διάγραμμα είναι μια οπτικοποίηση ενός διαγράμματος που έχει ως δείκτη μια κατηγορία poset^[13] (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο). Ένα τέτοιο διάγραμμα περιλαμβάνει συνήθως:

• ένας κόμβος για κάθε αντικείμενο στην κατηγορία ευρετηρίου,
• ένα βέλος για ένα σύνολο παράγωγων μορφισμών (παραλείποντας τις απεικονίσεις ταυτότητας και τους μορφισμούς που μπορούν να εκφραστούν ως συνθέσεις),
• η αντιμεταθετικότητα του διαγράμματος (η ισότητα διαφορετικών συνθέσεων απεικονίσεων μεταξύ δύο αντικειμένων), που αντιστοιχεί στη μοναδικότητα μιας απεικόνισης μεταξύ δύο αντικειμένων σε μια κατηγορία poset^[13] (Μερικώς διατεταγμένο σύνολο).

Αντίθετα, δεδομένου ενός αντιμεταθετικού διαγράμματος, ορίζει μια κατηγορία poset, όπου:

• τα αντικείμενα είναι οι κόμβοι,
• υπάρχει μορφισμός μεταξύ δύο αντικειμένων αν και μόνο αν υπάρχει μια (κατευθυνόμενη) διαδρομή μεταξύ των κόμβων, * με τη σχέση ότι αυτός ο μορφισμός είναι μοναδικός (οποιαδήποτε σύνθεση απεικονίσεων ορίζεται από τον τομέα και τον στόχο της: αυτό είναι το αξίωμα της αντιμεταθετικότητας).

Ωστόσο, δεν είναι όλα τα διαγράμματα αντιμεταθετικά (η έννοια του διαγράμματος γενικεύει αυστηρά το αντιμεταθετικό διάγραμμα). Ως απλό παράδειγμα, το διάγραμμα ενός μεμονωμένου αντικειμένου με ενδομορφισμό (${\displaystyle f\colon X\to X}$) ή με δύο παράλληλα βέλη ( ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$, δηλαδή ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$, που μερικές φορές ονομάζεται ελεύθερο βέλος), όπως χρησιμοποιείται στον ορισμό του εξισωτή, δεν χρειάζεται να είναι αντιμεταθετικό . Επιπλέον, τα διαγράμματα μπορεί να είναι ακατάστατα ή αδύνατα να σχεδιαστούν, όταν ο αριθμός των αντικειμένων ή των μορφισμών είναι μεγάλος (ή ακόμη και άπειρος).

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

• Thierry, Vialar (22 Αυγούστου 2023). Handbook of Mathematics. BoD - Books on Demand. ISBN 978-2-9551990-5-3. 
• Infinite Abelian Groups. Academic Press. 1 Ιανουαρίου 1970. ISBN 978-0-08-087348-0. 
• Hinze, Ralf· Marsden, Dan (10 Αυγούστου 2023). Introducing String Diagrams: The Art of Category Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-31784-9. 
• Lipman, Joseph· Hashimoto, Mitsuyasu (5 Φεβρουαρίου 2009). Foundations of Grothendieck Duality for Diagrams of Schemes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85419-7. 
• Riehl, Emily (9 Μαρτίου 2017). Category Theory in Context. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82080-4. 
• Majkic, Zoran (6 Μαρτίου 2023). Category Theory: Invariances and Symmetries in Computer Science. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-108201-1. 
• Positselski, Leonid (2 Σεπτεμβρίου 2010). Homological Algebra of Semimodules and Semicontramodules: Semi-infinite Homological Algebra of Associative Algebraic Structures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0346-0436-9. <
• Ayala, Rafael (24 Ιανουαρίου 2012). Algebraic Topology. Alpha Science International Limited. ISBN 978-1-78332-244-2. 
• Fried, Michael D.· Jarden, Moshe (2005). Field Arithmetic. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-22811-0. 
• Yau, Donald (11 Νοεμβρίου 2019). Homotopical Quantum Field Theory. World Scientific. ISBN 978-981-12-1287-1. 

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories. Originally published by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). North-Holland. Reprinted 2006 by Dover Publications.
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, V.V. (1994), Finite Dimensional Algebras, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X 
• Dummit, David; Foote, Richard, Algebra 
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Endomorphism ring», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/e035610 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 2 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7 
• Passman, Donald S. (1991), A Course in Ring Theory, Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8, https://books.google.com/books?id=hQTvAAAAMAAJ&q=endomorphism+ring 
• Wisbauer, Robert (1991), Foundations of module and ring theory, Algebra, Logic and Applications, 3 (Revised and translated from the 1988 German έκδοση), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, σελ. xii+606, ISBN 2-88124-805-5, https://archive.org/details/foundationsofmod0003wisb/page/  A handbook for study and research

• James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland 
• Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967), «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie», Publications Mathématiques de l'IHÉS 32: 5–333, doi:10.1007/BF02732123, http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1967__32_, ανακτήθηκε στις 2025-08-05 
• Grothendieck, Alexandre; Raynaud, Michèle (2003), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Paris: Société Mathématique de France, σελ. xviii+327, ISBN 978-2-85629-141-2 
• J. S. Milne (1980), Étale cohomology, Princeton, N.J: Princeton University Press, ISBN 0-691-08238-3, https://archive.org/details/etalecohomology00miln 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,
  Zbl 1103.12002
   
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,
  Zbl 1206.51015
   
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1,
  Zbl 0516.12001
  , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.